[論文レビュー] Selective but not Ramsey

Timothy Trujillo|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限木から導かれる特定の空間におけるほぼ還元を用いた強制法を用いて、位相的レムズキー空間において選択的ではあるがレムズキーではない初の例を構成する。各正の整数 $ n $ に対して、$ \mathcal{R}_n $ における選択的とレムズキー超フィルターの概念が同値でないことが証明され、ドブリネンの疑問に対して否定的解決を与える。

ABSTRACT

We give a partial answer to the following question of Dobrinen: For a given topological Ramsey space $\mathcal{R}$, are the notions of selective for $\mathcal{R}$ and Ramsey for $\mathcal{R}$ equivalent? Every topological Ramsey space $\mathcal{R}$ has an associated notion of Ramsey ultrafilter for $\mathcal{R}$ and selective ultrafilter for $\mathcal{R}$ (see \cite{MijaresSelective}). If $\mathcal{R}$ is taken to be the Ellentuck space then the two concepts reduce to the familiar notions of Ramsey and selective ultrafilters on $ω$; so by a well-known result of Kunen the two are equivalent. We give the first example of an ultrafilter on a topological Ramsey space that is selective but not Ramsey for the space, and in fact a countable collection of such examples. For each positive integer $n$ we show that for the topological Ramsey space $\mathcal{R}_{n}$ from \cite{Ramsey-Class2}, the notions of selective for $\mathcal{R}_{n}$ and Ramsey for $\mathcal{R}_{n}$ are not equivalent. In particular, we prove that forcing with a closely related space using almost-reduction, adjoins an ultrafilter that is selective but not Ramsey for $\mathcal{R}_{n}$. Moreover, we introduce a notion of finite product among members of the family $\{\mathcal{R}_{n}: n

研究の動機と目的

• ドブリネンが提起した、任意の位相的レムズキー空間において選択的とレムズキー超フィルターが同値であるかどうかという未解決問題に取り組む。
• 与えられた位相的レムズキー空間に対して、選択的ではあるがレムズキーではない超フィルターの明示的例を構成する。
• 有限個の位相的レムズキー空間の積への分析を拡張し、同様の非同値性の結果を示す。
• 現在の手法が、$ \alpha \geq \omega $ のようなレムズキー階層の非可算レベルに拡張できる限界を調査する。

提案手法

• 各 $ n \in \mathbb{N}^+ $ に対して、高さ $ n $ の木 $ T_n $ から位相的レムズキー空間 $ \mathcal{R}_n $ を定義し、ほぼ還元を備えた関連空間 $ \mathcal{R}_n^\star $ を構成する。
• $ (\mathcal{R}_n^\star, \leq^*) $ を用いた強制法により一般化フィルター $ \mathcal{G} $ を付加し、$ \Gamma: \mathcal{R}_n^\star \to \mathcal{R}_n $ を定義して $ \mathcal{G} $ を $ [T_n] $ 上の超フィルターに持ち上げる。
• $ \binom{T_n}{r_2(T_n)} $ の分割 $ \{\Pi_0, \Pi_1\} $ を構成し、任意の $ S \in \Gamma''\mathcal{G} $ に対して、$ \binom{S}{r_2(T_n)} \subseteq \Pi_0 $ および $ \subseteq \Pi_1 $ のいずれの包含も成立しないようにし、レムズキー性を破る。
• 任意の超フィルター内における単調減少列に対して、その超フィルター内に擬似交叉が存在することを示すことにより、生成された超フィルターが選択的であることを証明する。
• 有限積 $ \mathcal{H}^n = \bigotimes_{i=1}^n \mathcal{R}_1 $ に対して、積空間 $ \mathcal{R}_1^\star \otimes \cdots \otimes \mathcal{R}_1^\star $ を用いて構成を拡張し、同様に非レムズキーかつ選択的であることを示す。
• ほぼ還元の概念を用いて、強制条件が選択的とレムズキー超フィルターを区別するのに必要な組合せ的構造を保つように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた位相的レムズキー空間 $ \mathcal{R} $ に対して、選択的とレムズキー超フィルターの概念は同値か？
• RQ2 エレントック空間以外の位相的レムズキー空間において、選択的ではあるがレムズキーではない超フィルターを構成できるか？
• RQ3 有限個の位相的レムズキー空間の積において、選択的とレムズキー超フィルターの非同値性は維持されるか？
• RQ4 この構成を $ \alpha \geq \omega $ のようなレムズキー階層の非可算レベル、たとえば $ \mathcal{R}_\alpha $ に拡張できるか？
• RQ5 エレントック空間は、選択的とレムズキー超フィルターが一致する唯一の位相的レムズキー空間か？

主な発見

• 各正の整数 $ n $ に対して、$ \mathcal{R}_n $ における選択的とレムズキー超フィルターが同値でないような位相的レムズキー空間 $ \mathcal{R}_n $ が存在する。
• $ \mathcal{R}_n^\star $ を用いたほぼ還元を伴う強制法により、$ [T_n] $ 上に選択的ではあるがレムズキーではない超フィルターが付加される。
• 非レムズキー性は、$ \binom{T_n}{r_2(T_n)} $ の分割 $ \{\Pi_0, \Pi_1\} $ によって裏付けられ、任意の $ S \in \Gamma''\mathcal{G} $ に対して $ \binom{S}{r_2(T_n)} \subseteq \Pi_i $（$ i = 0,1 $）が成立しない。
• この方法は有限積へ拡張可能である：$ \bigotimes_{i=1}^n \mathcal{R}_1^\star $ を用いた強制法により、$ \mathcal{H}^n = \bigotimes_{i=1}^n \mathcal{R}_1 $ に対して選択的ではあるがレムズキーではない超フィルターが付加される。
• $ \alpha \geq \omega $ の場合、基礎となる木の無限の高さのため、構成は $ \mathcal{R}_\alpha $ に拡張できない。この場合の同値性の問題は未解決のまま残る。
• 本稿は、エレントック空間が選択的とレムズキー超フィルターが一致する唯一の空間ではないことを確立しており、実際、研究対象となっている大多数の位相的レムズキー空間では、同値性が成立しない。