[論文レビュー] Selective Quantum State Tomography

Joshua Morris, Borivoje Dakić|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2019

Quantum Information and Cryptography参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、固定された次元に依存しない数の状態コピーを用いて、未知の量子状態の任意の要素を推定できる方法、選択的量子状態トモグラフィー（SQST）を導入する。相互に偏りのない基底（MUBs）とHoeffdingの不等式を活用することで、誤差 $ \theta $ に対して $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $ のコピー数を達成し、標準的なトモグラフィーと比較してメモリ、計算、測定のオーバーヘッドを著しく削減する。

ABSTRACT

We introduce the concept of selective quantum state tomography or SQST, a tomographic scheme that enables a user to estimate arbitrary elements of an unknown quantum state using a fixed measurement record. We demonstrate how this may be done with the following notable advantages (i) a number of state copies that depends only on the desired precision of the estimation, rather than the dimension of the unknown state; (ii) a similar reduction in the requisite classical memory and computational cost; (iii) an approach to state tomography using $O(ε^{-2}\log d)$ state copies for maximum norm error $ε$, as well as achieving nearly optimal bounds for full tomography with independent measurements. As an immediate extension to this technique we proceed to show that SQST can be used to generate an universal data sample, of fixed and dimension independent size, from which one can extract the mean values from a continuous class of operators on demand.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間次元の増大に伴い指数関数的に増加する標準的量子状態トモグラフィーのスケーリング問題に対処し、大規模な量子系の特徴付けを可能にする。
• 後処理段階で $ d^2 $ 次元の密度行列を格納・処理する古典的計算およびメモリの負担を軽減する。
• 完全な状態再構築や $ d^2 $ 次元行列の保存を伴わずに、個々の行列要素や演算子の平均値を直接的・選択的に推定できるようにする。
• 独立測定に限る場合の完全トモグラフィーにおけるほぼ最適な標本複雑度を達成し、次元に依存しないリソーススケーリングを維持する。
• 連続的な有界演算子クラスの平均値を必要に応じて抽出できる固定サイズかつ普遍的なデータサンプルの存在を示す。

提案手法

• 相互に偏りのない基底（MUBs）を用いて、$ d(d+1) $ 個の要素を持つPOVMを定義し、密度行列要素の効率的かつ偏りのない推定を可能にする。
• 各状態コピーをランダムに選択されたMUB基底で測定する確率的測定プロトコルを採用し、結果を経験的平均を用いて行列要素を推定する。
• Hoeffdingの不等式を適用して行列要素の推定誤差を制限し、誤差 $ \theta $ に対して $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $ の標本複雑度を導出する。これはシステム次元 $ d $ に依存しない。
• 任意のトレースレスで有界な演算子 $ A $ の平均値を推定するために、MUB基底における係数 $ a_{km} $ を制御誤差で推定する方法に一般化する。
• Frobeniusノルムと有界性条件 $ |a_{km}| \to K $（$ K = O(1/d) $）を用いて、有界な演算子に対してコピー数が次元に依存しないことを保証する。
• 複数の演算子 $ M $ の同時推定を可能にするために、標本複雑度に $ \text{log} M $ 要素を追加するが、次元依存性は保たれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間次元 $ d $ に依存しないコピー数で、所望の精度を保ちながら量子状態トモグラフィーを実行できるか？
• RQ2 完全な状態再構築や $ d^2 $ 次元行列の保存を伴わずに、未知の密度行列の個々の行列要素を推定できるか？
• RQ3 固定サイズの測定記録を用いて、連続的な有界演算子クラスの平均値を必要に応じて抽出できるか？
• RQ4 独立測定に限る完全な状態トモグラフィーにおける最適な標本複雑度は何か？ そして、選択的アプローチによってその値に近づけるか？
• RQ5 提案手法は連続変数系で見られるエネルギー依存の誤差スケーリングを回避するのか？ もしそうなら、その理由は何か？

主な発見

• SQSTは、誤差 $ \theta $ に対して、システム次元 $ d $ に依存しない $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $ の標本複雑度を達成し、個々の密度行列要素を推定する。
• 独立測定に限る場合、理論的下界まで対数要因を除きほぼ最適な完全トモグラフィーを実現する。
• 有界演算子 $ A $ の平均値を推定する場合、必要なコピー数は $ O(K^2 d^2 \theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $ に比例するが、$ K = O(1/d) $ のときには $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $ に簡略化され、次元に依存しないことが保証される。
• 有界演算子の連続部分多様体（$ d(d+1) $ 個の位相パrameterでパラメータ化）から、任意の演算子の平均値を必要に応じて抽出できる固定サイズの測定記録 $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $ コピーが十分である。
• 連続変数系で一般的に見られるエネルギー依存の誤差スケーリングを回避しており、離散系における根本的な利点を示唆している。
• MUBsは普遍的なゲートセットを用いて線形コストで実装可能であるため、標準的な量子ゲートを用いた実験的実装が可能である。