[論文レビュー] Self-adjoint and skew-symmetric extensions of the Laplacian with singular Robin boundary condition

С. А. Назаров, Nicolas Popoff|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2017

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ひとこと要約

本稿は、境界上の一点で線形に消える特異的ロビン境界条件を有するラプラシアンの自己随伴および歪対称的拡張を調査する。一致漸近展開を用いて、正則化された自己随伴問題の固有値が対数スケール $|\ln \varepsilon|$ においてほぼ周期的である振動を示すことを示し、$\varepsilon \to 0$ のとき実数直線上に稠密なスペクトル集積が生じることを示す。このときパラメータ $\theta_\varepsilon$ は $O(\varepsilon^{-1})$ の速度で変化する。物理的動機付けに基づく歪対称的拡張も、ソモーフェルト放射条件を用いて特定される。

ABSTRACT

We study the Laplacian in a smooth bounded domain, with a varying Robin boundary condition singular at one point. The associated quadratic form is not semi-bounded from below, and the corresponding Laplacian is not self-adjoint, it has the residual spectrum covering the whole complex plane. We describe its self-adjoint extensions and exhibit a physically relevant skew-symmetric one. We approximate the boundary condition, giving rise to a family of self-adjoint operators, and we describe their eigenvalues by the method of matched asymptotic expansions. These eigenvalues acquire a strange behaviour when the small perturbation parameter $\\varepsilon>0$ tends to zero, namely they become almost periodic in the logarithmic scale $|\\ln \\epsilon|$ and, in this way, "wander" along the real axis at a speed $O(\\eps^{-1})$.

研究の動機と目的

• ロビン境界条件が境界上の一点で線形に消えるラプラシアンのスペクトル的性質を分析し、非半有界な二次形式と非自己随伴的実現をもたらす。
• 不足指数 $(1,1)$ を用いて、基本的演算子 $A_0$ のすべての自己随伴的拡張を分類し、パラメータ $\theta \in \mathbb{S}^1$ を用いる。
• 特異点におけるソモーフェルト放射条件を用いて、物理的に意味のある歪対称的拡張を同定する。
• ロビン係数がゼロを避けるように摂動された正則化された自己随伴作用素族における固有値の漸近的挙動を理解する。
• 重み関数が特異点近傍で $a(s) \sim a_0 s$ から $a(s) \sim a_0 |s|$ に変わったときのスペクトル構造の遷移を記述する。これにより特異解の数と不足指数が変化する。

提案手法

• コンドラチェフの漸近理論を用いて、特異点 $x_0$ の近傍における随伴領域 $D(A_0^*)$ 内の関数の挙動を分析し、$r^{ib_0}$ および $r^{-ib_0}$ の形の可能性のある特異性を特定する。
• 半平面 $\mathbb{R}^2_+$ 上で不連続なロビン係数 $\mathfrak{a}(\xi_1) = a_0(\mathrm{sign}(\xi_1) + \xi_1)$ を持つモデル問題を構築し、解の局所的挙動を研究する。
• 一致漸近展開の適用：外場展開は自己随伴的拡張の固有関数を用い、内場スケーリング $x = \varepsilon \xi$ を用いて内部解を導出する。
• カットオフ関数を用いて内場と外場の展開をマッチングさせ、準モードを構築し、関係式 $\theta_\varepsilon = \theta - 2b_0 \ln \varepsilon \pmod{2\pi}$ を導出する。ここで $b_0 = a_0^{-1}$ である。
• 変換 $\xi \mapsto \eta = |\xi|^{-2}\xi$ を用いて、スケーリングされた問題における無限遠での挙動を原点での挙動に変換し、コンドラチェフ理論の適用を可能にする。
• 重み関数 $a(s) = a_0 |s| + O(s^2)$ のときのスペクトル遷移を分析し、不足指数が $(2,2)$ に変化し、振動的解の数が $a_0$ に依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界上に特異的ロビン境界条件を持つラプラシアンの自己随伴的拡張はどのように振る舞い、パrameter $\theta \in \mathbb{S}^1$ でどのようにパrameter化されるか？
• RQ2 ロビン係数がゼロを避けるように摂動された正則化された自己随伴作用素族における固有値の漸近的挙動は何か？
• RQ3 なぜ正則化された作用素のスペクトルは $\varepsilon \to 0$ のとき実数直線上に稠密になるのか？また、$|\ln \varepsilon|$ におけるほぼ周期的振動の原因は何か？
• RQ4 ロビン係数のゼロの消失の順序に応じて、随伴作用素 $A_0^*$ の構造とそれに続く不足指数はどのように依存するか？
• RQ5 ソモーフェルト放射条件は、物理的に意味のある歪対称的拡張を構築するために果たす役割は何か？

主な発見

• 特異的ロビン境界条件を有するラプラシアンの自己随伴的拡張は、$\theta \in \mathbb{S}^1$ によってパrameter化され、不足指数 $(1,1)$ を持つ。特異点近傍での漸近的挙動 $u \sim r^{ib_0} + e^{i\theta} r^{-ib_0}$ で特徴づけられる。
• 正則化された自己随伴作用素 $A^\varepsilon$ の固有値 $\lambda_k(\theta_\varepsilon)$ は $\theta_\varepsilon = \theta - 2b_0 \ln \varepsilon \pmod{2\pi}$ を満たし、$\varepsilon \to 0$ のとき $|\ln \varepsilon|$ におけるほぼ周期的振動を示す。
• $\varepsilon \to 0$ のとき、$A^\varepsilon$ のスペクトルは $\mathbb{R}$ 上に稠密になる。すなわち $\mathbb{R} = \bigcup_{\varepsilon \downarrow 0} \sigma(A^\varepsilon)$ である。これは $\theta_\varepsilon$ の $O(\varepsilon^{-1})$ の速度による対数スケールでの変化に起因する。
• 物理的に意味のある歪対称的拡張が存在し、特異点におけるソモーフェルト放射条件に対応する。これは、極限において出射波の挙動を保証する。
• $a(s) \sim a_0 |s|$ のとき、不足指数は $(2,2)$ に変化し、特異解の数は $a_0$ に依存する：$a_0 > \pi/2$ のとき1つの負の固有値、$a_0 < \pi/2$ のとき2つ、$a_0 = \pi/2$ のとき対数的解が出現する。
• 一致漸近展開法により、$\varepsilon \to 0$ のとき誤差がゼロに近づく準モードが構築され、$A^\varepsilon$ の固有値のスペクトル挙動が妥当化される。