[論文レビュー] Self-adjoint Schrodinger and Dirac operators with Aharonov-Bohm and magnetic-solenoid fields

Д. М. Гитман, Andrei Smirnov+2 more|ArXiv.org|Nov 4, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、フォン・ノイマンの対称拡張理論とクレインのガイド関数法を用いて、3次元におけるアハラノフ＝ボーム場および磁気ソレノイド場に対する自己随伴シュレーディンガーおよびディラックハミルトニアンを体系的に構成する。完全なスペクトル分解、スペクトル、逆公式を導出し、ディラックハミルトニアンのスペクトルが $(-\infty, -m_e] \cup [m_e, \infty)$ であることを示し、固有関数は量子数と境界条件を連続的パラメータ $\lambda(s,p_z)$ で定まるものである。これは、2次元系や単純なポテンシャルに適用されてきた従来の手法を3次元系に一般化するものである。

ABSTRACT

We study all the s.a. Schrodinger and Dirac operators (Hamiltonians) both with pure AB field and with magnetic-solenoid field. Then, we perform a complete spectral analysis for these operators, which includes finding spectra and spectral decompositions, or inversion formulas. In constructing the Hamiltonians and performing their spectral analysis, we respectively follow the von Neumann theory of s.a. extensions of symmetric differential operators and the Krein method of guiding functionals. The examples of similar consideration are given by us in arXiv:0903.5277, where a nonrelativistic particle in the Calogero potential field is considered and in Theor. Math. Phys. 150 (1) (2007) 34, where a Dirac particle in the Coulomb field of arbitrary charge is considered. However, due to peculiarities of the three-dimensional problems under consideration, we elaborated a generalization of the approach used in the study of the Dirac particle.

研究の動機と目的

• 3次元におけるアハラノフ＝ボーム場および磁気ソレノイド場の存在下で、シュレーディンガーおよびディラックハミルトニアンのすべての自己随伴拡張を厳密に構成すること。
• これらのハミルトニアンのスペクトル、スペクトル分解、逆公式を含む完全なスペクトル解析を実施すること。
• 2次元系や単純なポテンシャルに適用されてきた従来の手法を、特異なベクトルポテンシャルを有する3次元系に一般化すること。
• ユニタリな時間発展と物理的整合性を保証する、理想化された磁気ソレノイドおよび一様磁場と相互作用する粒子のための一貫した量子力学的枠組みを確立すること。

提案手法

• 自己随伴ハミルトニアンの構成は、フォン・ノイマンの対称拡張理論に従い、欠損部分空間を特定し、ユニタリ作用素によってパrameter化された境界条件を用いて自己随伴拡張を分類する。
• クレインのガイド関数法を用いて、リゾルベントおよびスペクトル測度を特徴づけ、スペクトル分解および逆公式の導出を可能にする。
• ディラックハミルトニアンは $p_z$ に関する運動量表示で解析され、$\rho$ における径方向微分方程式に帰着され、$\varphi$ における角運動量依存性を有する。これは、逐次超幾何関数を用いて解かれる。
• 径方向解 $F_n(s,l,p_z;\rho)$ および $U_k^{\lambda}$ は一般化された固有関数として構成され、$\lambda(s,p_z)$ が $\rho=0$ における境界条件を符号化し、自己随伴性を保証する。
• スペクトル分解は $p_z$ に関する積分および量子数 $\mathfrak{n}(s), l$ に関する和で表され、係数 $\Phi_{s,p_z,\cdots}$ は固有関数との内積によって得られる。
• 固有値は $\Omega(\lambda, W)$ を含む超越方程式を解くことで決定され、$\lambda=0$ および $\lambda=\pm\pi/2$ の場合に明示的な解が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元におけるアハラノフ＝ボーム場および磁気ソレノイド場の存在下で、シュレーディンガーおよびディラックハミルトニアンのすべての可能な自己随伴拡張は何か？
• RQ2 境界条件がパラメータ $\lambda(s,p_z)$ によって定まる場合、スペクトル構造（特にスペクトルおよび固有関数）はどのように依存するか？
• RQ3 これらのハミルトニアンの完全なスペクトル分解および逆公式は何か？ また、2次元系や単純なポテンシャルにおける従来の結果をどのように一般化するか？
• RQ4 3次元的な問題が、クーロン場中のディラック粒子に関する先行研究で用いられた手法の一般化をどのように必要とするか？
• RQ5 量子数 $\mathfrak{n}(s)$ および角運動量 $l$ は、スペクトルの離散的および連続的成分をどのように整理するか？

主な発見

• 自己随伴ディラックハミルトニアン $\hat{H}_{\{\lambda(s,p_z)\}}$ のスペクトルは $(-\infty, -m_e] \cup [m_e, \infty)$ であり、相対論的性質に起因してゼロエネルギーにギャップが存在することを示している。
• 一般化された固有関数は $\Psi_{s,p_z,\mathfrak{n}(s),l}(\mathbf{r})$ および $\Psi_{s,p_z,k,l_0}^{\lambda(s,p_z)}(\mathbf{r})$ で与えられ、$s=\pm1$, $p_z$, $\mathfrak{n}(s)\in\mathbb{Z}(s)$, $l\leq|\mathfrak{n}(s)|$, $l\neq0$, $k\in\mathbb{Z}$ でパラメータ化され、完全系をなす。
• エネルギー固有値は $E_{s,p_z,\mathfrak{n}(s),l} = \sigma\sqrt{m_e^2 + p_z^2 + 2\gamma[|\mathfrak{n}(s)| + \theta(l)]}$ で与えられ、$\theta(l)=1$（$l\geq1$ の場合）、それ以外は $0$。
• $\lambda(s,p_z)=0$ および $\lambda(s,p_z)=\pm\pi/2$ の場合、固有値は明示的に解けるものであり、特定の境界条件に対応する。
• 逆公式は、任意の $L^2$ 波動関数が係数 $\Phi_{s,p_z,\cdots}$ を用いた固有関数の重ね合わせとして表現されることを示している。係数は $L^2$ 内積によって得られる。
• 波動関数のノルムは保存される：$\int |\Psi(\mathbf{r})|^2 d\mathbf{r} = \int dp_z \sum_{s=\pm1} \left[ \sum_{\mathfrak{n}(s)} \sum_{l\neq0} |\Phi_{s,p_z,\mathfrak{n}(s),l}|^2 + \sum_k |\Phi_{s,p_z,k,l_0}|^2 \right]$ であり、ユニタリ性および完全性が確認される。