[論文レビュー] Self-Approaching Graphs

Soroush Alamdari, Timothy M. Chan+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2013

Data Management and Algorithms参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、任意の頂点ペアに対して、パス上の任意の点から目的地までの距離が非増加となるパスが存在する自己近接グラフ図式を導入する。著者らは2次元および3次元における自己近接パスの認識に効率的なアルゴリズムを提示し、このような図式をもつ木の特徴づけを行い、任意の点集合に対して線形サイズの自己近接ステイナー網を構築する。このネットワークは、経路のずれが5.33未満であることを保証する。

ABSTRACT

In this paper we introduce self-approaching graph drawings. A straight-line drawing of a graph is self-approaching if, for any origin vertex s and any destination vertex t, there is an st-path in the graph such that, for any point q on the path, as a point p moves continuously along the path from the origin to q, the Euclidean distance from p to q is always decreasing. This is a more stringent condition than a greedy drawing (where only the distance between vertices on the path and the destination vertex must decrease), and guarantees that the drawing is a 5.33-spanner. We study three topics: (1) recognizing self-approaching drawings; (2) constructing self-approaching drawings of a given graph; (3) constructing a self-approaching Steiner network connecting a given set of points. We show that: (1) there are efficient algorithms to test if a polygonal path is self-approaching in R^2 and R^3, but it is NP-hard to test if a given graph drawing in R^3 has a self-approaching uv-path; (2) we can characterize the trees that have self-approaching drawings; (3) for any given set of terminal points in the plane, we can find a linear sized network that has a self-approaching path between any ordered pair of terminals.

研究の動機と目的

• 自己近接グラフ図式を形式化し、すべての経路上の点が目的地に近づくことを保証するグリーディ図式のより強い代替案として研究すること。
• グリーディ図式の限界、例えば無限大の拡張率と辺に沿った距離の非単調減少の欠如を解消すること。
• 与えられたグラフや点集合に対して、自己近接パスの認識アルゴリズムを開発し、自己近接図式またはステイナー網を構築すること。
• 自己近接図式、スパンナーや幾何的拡張率の関係を、特に局所ルーティングとネットワーク設計の文脈で探求すること。

提案手法

• 自己近接パスを、パス上を順に並ぶ任意の3点 a, b, c に対して、ユークリッド距離 D(a,c) ≥ D(b,c) を満たすものとして定義する。
• R²における多角形パスが自己近接であるかどうかを線形時間でテストするアルゴリズムを提案し、R³では O(n log²n / log log n) 時間に拡張する。
• Well-separated pair decomposition (WSPD) とクアッドツリーに基づく構築法を用いて、平面上の任意の点集合に対して線形サイズの自己近接ステイナー網を構築する。
• 分離された領域間のペアに対して2リンクのxy単調パスを構築し、最終的なネットワークにおける自己近接性を保証する。
• Icking らの自己近接曲線に関する結果を活用して、自己近接図式が5.33-スパンナであることを証明する。
• 頂点配置と辺ルーティングの構造的・幾何的制約を用いて、自己近接図式をもつ木の特徴づけを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面上の与えられた直線グラフ図式が自己近接であるかどうかを多項式時間でテストできるか？
• RQ2 存在する場合に、与えられたグラフに対して効率的に自己近接図式を構築できるか？
• RQ3 3連結平面グラフなどのような特定のグラフクラスは、自己近接図式をもつか？
• RQ4 平面上の任意の端点集合に対して、線形サイズの自己近接ステイナー網を構築できるか？
• RQ5 3次元グラフ図式における自己近接パスの認識の計算複雑度はいかほどか？

主な発見

• R²における自己近接多角形パスの認識には線形時間アルゴリズムが存在し、R³では O(n log²n / log log n) 時間のアルゴリズムが存在する。
• R³における与えられたグラフ図式が2頂点間で自己近接パスをもつかどうかをテストすることはNP困難である。
• R²における自己近接グラフ図式の認識問題は未解決のままだが、R³では既にNP困難であることが知られている。
• 自己近接図式をもつ木を認識するための線形時間アルゴリズムが存在する。
• 平面上のn個の端点集合に対して、サイズ O(n/ε²) の自己近接ステイナー網を構築可能であり、経路のずれは最大5.33である。
• 構築法はwell-separated pair decompositionと分離された領域間の2リンクxy単調パスを用い、すべての端点ペアに対して自己近接性を保証する。