[論文レビュー] Self-dual cyclic codes over finite chain rings

Bocong Chen, San Ling+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限鎖環上の自己双対循環符号の代数的構造を調査し、このような符号が存在するための必要十分条件として、環の最大イデアルの冪零指数 $ t $ が偶数であることであることを確立する。符号の存在条件を明示的に示し、$ \mathbb{F}_q $ 上での $ X^n - 1 $ の自己双対モニック既約因子の個数に基づいた列挙式を導出する。特に、$ n $ が2つの素因数を持つ場合の閉形式が得られる。

ABSTRACT

Let $R$ be a finite commutative chain ring with unique maximal ideal $\langle γ angle$, and let $n$ be a positive integer coprime with the characteristic of $R/\langle γ angle$. In this paper, the algebraic structure of cyclic codes of length $n$ over $R$ is investigated. Some new necessary and sufficient conditions for the existence of nontrivial self-dual cyclic codes are provided. An enumeration formula for the self-dual cyclic codes is also studied.

研究の動機と目的

• 有限鎖環 $ R $ 上の長さ $ n $ の循環符号の代数的構造を特徴付けること。ここで $ n $ は、$ R/\langle\gamma\rangle = \mathbb{F}_q $ である剰余体 $ \mathbb{F}_q $ の標数と互いに素である。
• このような環上での非自明な自己双対循環符号の存在に必要な十分条件を特定すること。
• 自己双対循環符号の個数を列挙する公式を導出し、$ \mathbb{F}_q $ 上での $ X^n - 1 $ の自己双対モニック既約因子の個数と関連付けること。
• $ |\Omega_n| $、すなわち $ \mathbb{F}_q $ 上での $ X^n - 1 $ の自己双対モニック既約因子の個数を計算すること。特に、$ n $ がちょうど2つの異なる素因数を持つ場合に注目する。

提案手法

• 文献[13]の手法を一般化し、$ R $ 上の長さ $ n $ の循環符号の新しい代数的構造を導出する。これは[5]の先行研究とは異なる。
• 環準同型 $ R[X] \to \mathbb{F}_q[X] $ を用いて、$ \mathbb{F}_q $ 上の多項式の性質を $ R $ に持ち上げる。$ R[X] $ と $ \mathbb{F}_q[X] $ の間の互いに素な多項式の対応を利用する。
• $ \mathbb{F}_q $ 上での $ X^n - 1 $ のモニック既約因子分解を分析し、逆多項式および自己双対因子に注目することで、自己双対符号の条件を同定する。
• $ |\Omega_{2^m n'}| $ の計算を $ |\Omega_{n'}| $ および $ |\overline{\Omega}_{n'}| $ に還元する。ここで $ \overline{\Omega}_{n'} $ は $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上での自己双対因子の個数を表す。
• $ q $ の $ \ell_i^{r_i} $ における位数に関する結果を応用し、$ a_i = v_2(\text{ord}_{\ell_i^{r_i}}(q)) $ に基づいて場合分けを行う。これにより、列挙式におけるケースの区別が導かれる。
• $ n $ がちょうど2つの素因数を持つ場合の $ |\Omega_n| $ に対して明示的な公式を導出する。$ a_1 $ と $ a_2 $ の等価性に基づいて、2つの場合に分けて記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限鎖環 $ R $ 上で、長さ $ n $ の非自明な自己双対循環符号が存在する条件は何か？
• RQ2 最大イデアル $ \langle\gamma\rangle $ の冪零指数 $ t $ は、自己双対循環符号の存在にどのように影響するか？
• RQ3 有限鎖環 $ R $ 上の長さ $ n $ の自己双対循環符号の正確な個数は何か？ そして、$ \mathbb{F}_q $ 上での $ X^n - 1 $ の因数分解によってどのように特定されるか？
• RQ4 長さ $ n $ が2つの素因数を持つ場合に、$ |\Omega_n| $、すなわち $ \mathbb{F}_q $ 上での $ X^n - 1 $ の自己双対モニック既約因子の個数を効率的に計算する方法は何か？
• RQ5 数 $ \text{ord}_d(q) $ の構造は、自己双対循環符号の個数の分類にどのように寄与するか？

主な発見

• 有限鎖環 $ R $ 上の長さ $ n $ の自己双対循環符号が存在するための必要十分条件は、最大イデアル $ \langle\gamma\rangle $ の冪零指数 $ t $ が偶数であることである。
• $ t $ が偶数であるとき、自己双対循環符号の個数は、$ \mathbb{F}_q $ 上での $ X^n - 1 $ のモニック既約因子分解における逆多項式ペアの個数 $ |\Delta_n| $ に完全に依存する。
• $ \mathbb{F}_q $ 上での $ X^n - 1 $ の自己双対モニック既約因子の個数 $ |\Omega_n| $ を計算する問題は、$ n = 2^m n' $（$ n' $ は奇数）とおくとき、$ |\Omega_{n'}| $ および $ |\overline{\Omega}_{n'}| $ の計算に還元される。
• $ n = \ell_1^{r_1} \ell_2^{r_2} $ で $ \ell_1, \ell_2 $ が異なる奇素数である場合、$ |\Omega_n| $ は2つの部分ケースに分けて明示的に計算される。$ a_1 = a_2 \geq 1 $ の場合は $ \sum_{d \mid n} \frac{\phi(d)}{\text{ord}_d(q)} $ に等しい。$ a_1 \neq a_2 $ の場合は $ \sum_{d_1=0}^{r_1} \frac{\phi(\ell_1^{d_1})}{\text{ord}_{\ell_1^{d_1}}(q)} + \sum_{d_2=0}^{r_2} \frac{\phi(\ell_2^{d_2})}{\text{ord}_{\ell_2^{d_2}}(q)} - 1 $ に等しい。
• $ a_1 = 0 $ または $ a_2 = 0 $ の場合、公式は簡略化され、それぞれ $ |\Omega_n| = |\Omega_{\ell_2^{r_2}}| $ または $ |\Omega_n| = |\Omega_{\ell_1^{r_1}}| $ となる。