[論文レビュー] Self-dual Einstein Hermitian four manifolds

Vestislav Apostolov, Paul Gauduchon|ArXiv.org|Mar 25, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 38被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、正のヘルミート構造を備える自己双対なエインシュタイン4次元多様体の局所分類を提供し、それらがすべて2次元の軌道をもつ局所的 $\times \mathbb{R}^2$ 同形作用を備えていることを示している。主な結果は、このような計量の明示的局所アンサッツの特定であり、非局所的対称性を示す例はすべて同調度1の作用から生じ、共形的にカーラー的であることが明らかになり、自己双対なカーラー計量（非定数スカラー曲率）と完全に一致する。

ABSTRACT

We provide a local classification of self-dual Einstein Riemannian four manifolds admitting a positively oriented Hermitian structure and characterize those which carry a hyperhermitian, non-hyperkählerian structure compatible with the negative orientation. We finally show that self-dual Einstein 4-manifolds obtained as quaternionic quotients of the Wolf spaces ${\mathbb H}P^2$, ${\mathbb H}H^2$, $SU(4)/S(U(2)U(2))$, and $SU(2,2)/S(U(2)U(2))$ are always Hermitian.

研究の動機と目的

• 正の向き付けられたヘリオメトリック構造を備える自己双対なエインシュタイン4次元多様体の局所分類を提供すること。
• そのような多様体のうち、負の向き付けと整合するハイパーヘルミートだがハイパーカーラーでない構造を備えるものについての特徴付け。
• ウォルフ空間 $\mathbb{H}P^2$, $\mathbb{H}H^2$, $SU(4)/S(U(2)U(2))$, および $SU(2,2)/S(U(2)U(2))$ のクオータニオン的商が常にヘリオメトリックであることを示すこと。
• 自己双対なエインシュタインヘリオメトリック計量（共形的にフラットでなく、カーラー的でもない）と、スカラー曲率が恒等的に消えない非定数スカラー曲率をもつ自己双対なカーラー計量との間の自然な全単射を確立すること。
• すべてのこのような計量が局所的に $\mathbb{R}^2$ 同形作用を備えていることを示し、初期の過剰決定系からは明らかでない予期せぬ対称性が明らかになること。

提案手法

• 自己双対なウェイルテンソル $W^+$ の退化性とヘリオメトリック構造の存在を結びつけるために、ゴールドバーグ＝サックス定理の弱いリーマン版を用いる。
• 問題を $\mathbb{R} \times \text{Isom}(\mathbb{R}^2)$、U(1,1)、または U(2) 活動の下での同調度1計量に還元するために、特徴的なキリング場 $K = J \cdot \text{grad}_g(|W^+|^{-1/3})$ を用いる。
• ジョーンズ＝トゥドの還元技術を適用して曲率構造を解析し、計量の対角形での局所アンサッツを導出する。
• $\mathbb{H}P^2$, $\mathbb{H}H^2$, $SU(4)/S(U(2)U(2))$, および $SU(2,2)/S(U(2)U(2))$ の対称空間の曲率分解を用いて、それらのクオータニオン的商がヘリオメトリック構造を引き継ぐことを示す。
• 共形計量 $\bar{g} = |W^+|^{2/3}g$ がヘリオメトリック構造 $J$ に関してカーラー的であるという事実に依拠し、エインシュタイン条件とカーラー条件を結びつける。
• 共形同値性を用いて、自己双対なエインシュタインヘリオメトリック計量（カーラー的でなく、共形的にフラットでもない）と、スカラー曲率が恒等的に消えない非定数スカラー曲率をもつ自己双対なカーラー計量との間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの自己双対なエインシュタイン4次元多様体が正のヘリオメトリック構造を備え、どのように局所的に分類できるか？
• RQ2 自己双対なエインシュタインヘリオメトリック計量がハイパーヘリオメトリックではあるがハイパーカーラーではないことを保証する条件は何か？
• RQ3 例えば $\mathbb{H}P^2$, $\mathbb{H}H^2$, $SU(4)/S(U(2)U(2))$, および $SU(2,2)/S(U(2)U(2))$ のようなウォルフ空間のクオータニオン的商は常にヘリオメトリック構造を備えているか？
• RQ4 $W^+$ の退化性は、自己双対なエインシュタインヘリオメトリック4次元多様体における局所的 $\mathbb{R}^2$ 同形作用の存在とどのように関係しているか？
• RQ5 エインシュタイン、自己双対、ヘリオメトリック条件から成る過剰決定系を明示的に解けるか？解からどのような対称性が生じるか？

主な発見

• 非局所的対称性を示すすべての自己双対なエインシュタインヘリオメトリック4次元多様体は、2次元の軌道をもつ局所的 $\mathbb{R}^2$ 同形作用を備えており、PDE系からは明らかでない隠れた対称性が明らかになる。
• このような計量の完全な局所アンサッツが提供され、4次元のリー群作用の下で双軸対称な対角型バイナッチ計量（タイプA）であることが示される。
• 自己双対なエインシュタインヘリオメトリック計量（共形的にフラットではなく、カーラー的でもない）と、スカラー曲率が恒等的に消えない非定数スカラー曲率をもつ自己双対なカーラー計量との間には自然な全単射が存在し、共形同値性によって結ばれる。
• 共形計量 $\bar{g} = |W^+|^{2/3}g$ はヘリオメトリック構造 $J$ に関してカーラー的であり、そのカーラー形式は $W^+$ の単純固有空間の生成子である。
• ウォルフ空間 $\mathbb{H}P^2$, $\mathbb{H}H^2$, $SU(4)/S(U(2)U(2))$, および $SU(2,2)/S(U(2)U(2))$ のクオータニオン的商として得られるすべての自己双対なエインシュタイン4次元多様体はヘリオメトリックである。これは曲率分解と固有空間解析によって示される。
• この構成により、$M$ を底多様体とする関連するササキアン多様体 $L_K$ は4次高次のチェーン＝モーザー曲率をもつことが示され、$PU(3,1)$ に関する $S^5$ 上での均一化が成立する。