[論文レビュー] Self-dual Repeated Root Cyclic and Negacyclic Codes over Finite Fields

Kenza Guenda, T. Aaron Gulliver|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特異的特徴を持つ有限体上での自己双対反巡回および反巡回符号の研究を行い、$p$ が奇数のとき、長さ $mp^r$ の自己双対反巡回符号の存在に必要な十分条件を提供する。環の同型を用いて生成多項式を特徴付け、特に $p \equiv 1 \pmod{8}$ である素因数を含む長さにおける自己双対巡回符号の数に関する未解決問題を、$p$ に対する 2 の位数に基づく条件を確立することで解消する。主な貢献は、自己双対反巡回符号の完全な特徴付けと、巡回符号の列挙に関する長年の未解決問題の解決である。

ABSTRACT

In this paper we investigate repeated root cyclic and negacyclic codes of length $p^rm$ over $\mathbb{F}_{p^s}$ with $(m,p)=1$. In the case $p$ odd, we give necessary and sufficient conditions on the existence of negacyclic self-dual codes. When $m=2m'$ with $m'$ odd, we characterize the codes in terms of their generator polynomials. This provides simple conditions on the existence of self-dual negacyclic codes, and generalizes the results of Dinh \cite{dinh}. We also answer an open problem concerning the number of self-dual cyclic codes given by Jia et al. \cite{jia}.

研究の動機と目的

• 奇素数 $p$ に対して、$(m,p)=1$ のもとで、$\mathbb{F}_{p^s}$ 上の長さ $mp^r$ の自己双対反巡回符号を特徴付けること。
• $x^{mp^r}+1$ の因数分解と自己双対多項式の性質を用いて、このような自己双対反巡回符号の存在に必要な十分条件を特定すること。
• Jia らが提起した、$\mathbb{F}_{2^s}$ 上の長さ $2^r m$ の自己双対巡回符号の数に関する未解決問題を解消すること、特に $m$ が $\equiv 1 \pmod{8}$ である素因数を含む場合に焦点を当てる。
• 繰り返し根定数巡回符号に関する先行研究を拡張し、明示的な生成多項式と構造的条件を提供すること。

提案手法

• $x^{mp^r}+1 = (x^m+1)^{p^r}$ を $\mathbb{F}_{p^s}$ 上で、互いに素な既約因数に分解し、$x^m+1$ を自己双対および双対ペア因数に分解する。
• 環の同型を用いて、自己双対反巡回符号の生成多項式を、双対ペア $h_j, h_j^*$ に対して $h_j^{b_j}(x)h_j^{*p^r - b_j}(x)$ の形の積として明示的に記述する。
• 双対性条件 $A(x) = B^*(x)$ を適用し、ここで $B(x) = (x^n + 1)/A(x)$ であることを用いて、自己双対性の必要十分条件を導出する。
• 群論的議論を用いて、$p \equiv 1 \pmod{8}$ の場合の自己双対巡回符号の存在条件を、2 の $p$ に対する位数の分析によって特定する。
• [6]、[11]、[9] の結果を活用し、特に $ord_q(p^2)$ が偶数である場合に自己双対符号が存在する条件を確立する。
• $x^{2mp^r} - 1 = (x^m - 1)^{p^r}(x^m + 1)^{p^r}$ を用いて、巡回符号を $f_i(x)^{\alpha_i}$ および $f_i(-x)^{\beta_i}$ の積で生成するイデアルに分解する。ここで $f_i$ は $x^m - 1$ を割り切る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$ が奇数で $(m,p)=1$ のとき、$\mathbb{F}_{p^s}$ 上の長さ $mp^r$ の自己双対反巡回符号の存在に必要な十分条件は何か？
• RQ2 $m = 2m'$ で $m'$ が奇数であるとき、自己双対反巡回符号の生成多項式をどのように明示的に特徴付けられるか？
• RQ3 $\mathbb{F}_{2^s}$ 上の長さ $2^r m$ の自己双対巡回符号が存在する条件は何か、特に $m$ が $p \equiv 1 \pmod{8}$ である素因数を含む場合に焦点を当てる。
• RQ4 $p \equiv 1 \pmod{8}$ で $ord_p(2) = 2^k e$ のとき、$\mathbb{F}_{2^s}$ 上の長さ $2^r p^\alpha$ の自己双対巡回符号の正確な数は何か？
• RQ5 $ord_q(p^2)$ が偶数であるとき、$\mathbb{F}_p$ や $\mathbb{F}_{p^2}$ 上の長さ $2q^\alpha p$ の自己双対反巡回符号が存在しない条件は何か？

主な発見

• $x^m + 1$ の因数分解に自己双対既約因数が存在しないとき、かつそのときに限り、$\mathbb{F}_{p^s}$ 上の長さ $mp^r$ の自己双対反巡回符号が存在する。
• $m = 2m'$ で $m'$ が奇数であるとき、自己双対反巡回符号は、双対ペア $h_j, h_j^*$ を持つ多項式 $\prod_{j=1}^t h_j^{b_j}(x) h_j^{*p^r - b_j}(x)$ の形で生成される。
• $p \equiv 1 \pmod{8}$ のとき、$\mathbb{F}_{2^s}$ 上の長さ $2^r p^\alpha$ の自己双対巡回符号の数は、$s = 2^l$ で $0 < l < k$ のとき、$ord_p(2) = 2^k e$ であると、一意に決定される。このような符号は $g(x) = (x^{p^\alpha} + 1)^{2^{r-1}}$ で生成される。
• $ord_q(p^2)$ が偶数であるとき、$\mathbb{F}_p$ や $\mathbb{F}_{p^2}$ 上の長さ $2q^\alpha p$ の自己双対反巡回符号は存在しない。これは、先行研究で残された未解決事項を解消する。
• $p=5$、$q=13$、$q=17$ の場合、$\mathbb{F}_5$ や $\mathbb{F}_{25}$ 上の長さ 130、170、1690 の自己双対反巡回符号は存在しない。これは $ord_q(p^2)$ が偶数であるためである。
• 本稿は、Jia らの未解決問題を完全に解消し、$p \equiv 1 \pmod{8}$ の場合を含むすべてのケースにおいて、自己双対巡回符号の数を完全に特徴づけた。これは、$ord_p(2)$ に対する特定の位数条件の下で一意性が保証されることを示した。