[論文レビュー] Self-dual solutions of 2+1 Einstein gravity with a negative cosmological constant

O. Coussaert, Marc Henneaux|ArXiv.org|Jul 27, 1994

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、so(2,2)代数からの自己双対キリングベクトルを用いて反ド・ジッター空間を同定することにより、負の宇宙定数を伴う2+1次元アインシュタイン重力の因果的に正規な解をすべて構成する。これらの自己双対幾何学的構造は4つのキリングベクトル、2つのキリングスピンォルを有し、角方向に適用されたストリング双対性変換に対して不変であることが示され、ブラックホール解を越える深い対称性および双対性の性質が明らかになる。

ABSTRACT

All the causally regular geometries obtained from (2+1)-anti-de Sitter space by identifications by isometries of the form $P ightarrow (\exp πξ) P$, where $ξ$ is a self-dual Killing vector of $so(2,2)$, are explicitely constructed. Their remarkable properties (Killing vectors, Killing spinors) are listed. These solutions of Einstein gravity with negative cosmological constant are also invariant under the string duality transformation applied to the angular translational symmetry $ϕ ightarrow ϕ+a$ The analysis is made particularly convenient through the construction of {\em global} coordinates adapted to the identifications.}

研究の動機と目的

• 負の宇宙定数を伴う2+1次元アインシュタイン重力において、反ド・ジッター空間の同定によって得られる因果的に正規な幾何学をすべて分類すること。
• so(2,2)リー代数に属する自己双対キリングベクトルによって生成される解の幾何学的および代数的性質を分析すること。
• これらの自己双対解にキリングスピンォルおよびグローバル対称性が存在するか、その性質を調査すること。
• 角方向の移動対称性に適用されたストリング双対性変換に対するこれらの解の不変性を調査すること。
• 同定手順およびそれによって得られる時空構造の記述を簡略化するグローバル座標系を確立すること。

提案手法

• 同定手順は、形式 $ P \to \exp(2\pi\xi)P $ における1パラメータ等長変換から生成される離散部分群を用いる。ここで $ \xi $ はso(2,2)代数に属する自己双対キリングベクトルである。
• 自己双対キリングベクトルは、so(2,2)の $ sl(2,\mathbb{R}) \oplus sl(2,\mathbb{R}) $ 分解に基づき構成され、生成子 $ \xi_{(0)}, \xi_{(1)}, \xi_{(2)} $ を持ち、その因果的性質（空間的、時間的、光的）によって分類される。
• 商時空を記述するためのグローバル座標が明示的に構成され、曲率、等長変換、トポロジーの分析が簡略化される。
• キリングスピンォルの存在は、角座標 $ \phi $ における周期的または反周期的境界条件の下でのスピンォル零モードの解析によって決定される。
• ストリング双対性変換は $ \phi \to \phi + a $ の等長変換に適用され、双対性写像 $ (g_{\mu\nu}, B_{\mu\nu}, \phi) \to (g'_{\mu\nu}, B'_{\mu\nu}, \phi') $ が用いられ、$ a \to 4/a $ となる。この変換により幾何学が不変であることが示される。
• 解析により、自己双対解がこの双対性に対して不変であることが確認され、低エネルギーストリング有効作用法においてダイルトンおよびゲージ場強度が非ゼロであっても成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己双対キリングベクトルを用いて反ド・ジッター空間を同定することによって得られる、負の宇宙定数を伴う2+1次元アインシュタイン重力の因果的に正規な解はすべて何か？
• RQ2 これらの自己双対解は、複数のキリングベクトルやキリングスピンォルといった拡張された対称性構造を有するか？
• RQ3 これらの解のグローバル性質は、標準的な(2+1)次元ブラックホール解とどのように比較できるか？
• RQ4 これらの自己双対幾何学は、角方向に適用されたストリング双対性変換に対して不変か？
• RQ5 グローバル座標は、同定プロセスおよびそれによって得られる時空幾何学の記述を簡略化する役割を果たすか？

主な発見

• so(2,2)に属する自己双対要素 $ \xi $ を用いて、$ \exp(2\pi\xi) $ で生成される同定群によって、因果的に正規なすべての解が明示的に構成された。
• 得られた時空は4つのキリングベクトルを有し、商空間の等長変換に対応しており、2つのキリングスピンォルを有する。これは、一般の反ド・ジッター空間に比べて拡張された超対称性を示している。
• 自己双対解は、角座標 $ \phi $ に適用されたストリング双対性変換に対して不変であり、双対性写像 $ a \to 4/a $ によって幾何学が変化しない。
• キリングスピンォルは明示的に $ \bigl[\sin(t+K)e^{r/2}(1+\gamma^{(2)}) + \cos(t+K)e^{-r/2}(1-\gamma^{(2)})\bigr]E $ として計算され、周期性条件により2つしか存在しないことが示された。
• 解が変換 $ (g_{\mu\nu}, B_{\mu\nu}, \phi) \to (g'_{\mu\nu}, B'_{\mu\nu}, \phi') $ に対して不変であることが示され、$ g'_{\phi\phi} = 4/a^2 $、$ B'_{t\phi} = \frac{1}{a}\sinh 2r $、$ \phi' = \phi - \frac{1}{2}\log|a| $ が成り立ち、双対性不変性が確認された。
• 宇宙定数は反対称テンソル場 $ H_{\mu\nu\rho} $ によって部分的に供給され、$ H_{\phi tr} = \frac{2}{l}\epsilon_{\phi tr} $ であり、有効作用法には $ k = l^2 $ が必要である。