[論文レビュー] Self-inverses in Rauzy Classes

Jonathan Michael Fickenscher|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、区間移動変換のすべてのラウツィークラスに少なくとも1つの自己逆置換が存在することを証明し、対称的ブロックを用いた明示的構成法を提示する。さらに、一般化ラウツィークラスが自己逆一般化置換を含むための必要十分条件を確立し、自己逆置換がラグランジュ的であることを示し、アーベル微分形式における周期的垂直軌道の空間次元に関するフォルニの補題の新たな証明を提供する。

ABSTRACT

Thanks to works by M. Kontsevich and A. Zorich followed by C. Boissy, we have a classification of all Rauzy Classes of any given genus. It follows from these works that Rauzy Classes are closed under the operation of inverting the permutation. In this paper, we shall prove the existence of self-inverse permutations in every Rauzy Class by giving an explicit construction of such an element satisfying the sufficient conditions. As a corollary, we will give another proof that every Rauzy Class is closed under taking inverses. In the case of generalized permutations, generalized Rauzy Classes have been classified by works of M. Kontsevich, H. Masur and J. Smillie, E. Lanneau, and again C. Boissy. We state the definition of self-inverse for generalized permutations and prove a necessary and sufficient condition for a generalized Rauzy Class to contain self-inverse elements.

研究の動機と目的

• すべての真のラウツィークラスが少なくとも1つの自己逆置換を含むことを証明すること。
• 対称的ブロックパターンを用いた、そのような自己逆置換の明示的構成法を提供すること。
• 自己逆一般化置換の存在を保証する必要十分条件を同定することで、結果を一般化ラウツィークラスへ拡張すること。
• 平坦な曲面のホモロジーにおける自己逆置換とラグランジュ部分空間との関係を確立すること。
• アーベル微分形式における周期的垂直軌道が張る空間の次元に関するフォルニの補題4.4の別証明を提供すること。

提案手法

• ラウツィークラスの符号および型を保つ対称的ブロックの連結を用いて、自己逆置換を構成する。
• ラウツィー誘導が置換とその逆置換を共役することを用い、逆元についての閉包性を示す。
• 符号および型によるラウツィークラスの分類（補題1.22）を用いて、構成された置換の所属を検証する。
• 一般化置換の場合、符号を制御し、特異点次数の偶奇条件を満たすために、ブロック挿入技術を導入する。
• 垂直軌道がホモロジーにおいてg次元部分空間を張る置換をラグランジュ的置換と定義し、自己逆置換がラグランジュ的であることを証明する。
• シンプレクティック形式と線形代数を用いて、軌道ベクトルの線形独立性を検証し、ラグランジュ的性質を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのラウツィークラスは自己逆置換を含むか？
• RQ2 一般化ラウツィークラスが自己逆一般化置換を含むために満たすべき条件は何か？
• RQ3 自己逆置換は平坦な曲面のホモロジーにおけるラグランジュ部分空間とどのように関係するか？
• RQ4 自己逆要素の存在を用いて、アーベル微分形式における周期的垂直軌道に関する既知の結果を再証明できるか？
• RQ5 ブロック構造は、ラウツィークラスの不変量を保つ自己逆置換を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• すべての真のラウツィークラスは、対称的ブロックを用いた明示的構成により、少なくとも1つの自己逆置換を含む。
• 一般化ラウツィークラスが自己逆一般化置換を含むための必要十分条件は、各奇数次（≥ -1）の特異点の個数が偶数であり、次数0の特異点の総数が偶数であることである。
• 自己逆置換はラグランジュ的であり、そのスuspensionの垂直軌道がホモロジーにおいてg次元部分空間を張る。
• 置換 π = (d, d−1, ..., 2, 1) は、関連する軌道ベクトルが線形独立であるため、置換のラグランジュ的である。
• ブロックで構成された自己逆置換は、シンプレクティックペアリングの議論により、軌道ベクトルの線形独立性が確認され、置換のラグランジュ的である。
• この結果により、フォルニの補題4.4の別証明が得られ、アーベル微分形式のモジュライ空間において、周期的垂直軌道が張る空間の次元がgであることが示された。