[論文レビュー] Self-normalized Cramér Type Moderate Deviations under Dependence

Xiaohong Chen, Qi-Man Shao+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、弱いモーメント条件の下で、二つのブロックベースのスキーム（ビッグブロック・スモールブロックおよびインターリービング）を用いて、弱い依存性下での自己正規化和のCramér型中程度偏差結果を確立する。自己正規化は、非自己正規化バージョンと比較して、ガウス近似の範囲を拡大することを示しており、依存性が存在しても同様に成り立つ。特に、インターリービングスキームは有限標本性能が優れていることが判明している。

ABSTRACT

We establish a Cramér-type moderate deviation result for self-normalized sums of weakly dependent random variables, where the moment requirement is much weaker than the non-self-normalized counterpart. The range of the moderate deviation is shown to depend on the moment condition and the degree of dependence of the underlying processes. We consider two types of self-normalization: the big-block-small-block scheme and the interlacing or equal-block scheme. Simulation study shows that the latter can have a better finite-sample performance. Our result is applied to multiple testing and construction of simultaneous confidence intervals for high-dimensional time series mean vectors.

研究の動機と目的

• 弱い依存性および厚尾の時系列における自己正規化和のための中程度偏差理論の欠落を解消すること。
• 最小限のモーメント条件の下で、独立なプロセスから弱い依存性プロセスへの自己正規化極限定理を拡張すること。
• 従属データに適した二つのブロックベースの自己正規化スキーム（ビッグブロック・スモールブロックおよびインターリービング）を開発すること。
• 同じモーメントおよび依存性条件のもとで、自己正規化が非自己正規化バージョンと比較してより広いガウス近似範囲を提供することを示すこと。
• 依存性下での高次元推論における自己正規化統計量の使用について理論的裏付けを提供すること。

提案手法

• ブロックサンプリングに基づく二つの自己正規化和統計量（ビッグブロック・スモールブロックおよびインターリービング（等長ブロック）スキーム）を提案する。
• 非線形時系列における弱い依存性を、機能的依存度測度およびβ-混合係数を用いて定量化する。
• マルティングルの近似および指数的尾部バウンドを用いて中程度偏差結果を確立し、特に負の偏差確率の評価にLemma 6.3を活用する。
• バーガーの不等式および射影技術を用いて、ブロック和のモーメントおよびその条件付き期待値を制御する。
• 尾部確率の比（標準正規尾部確率との比）のバウンドを導出し、制御された誤差項まで asymptotically equivalent であることを示す。
• シミュレーションによる妥当性確認を通じて、インターリービングスキームが有限標本性能を向上させることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い依存性および弱いモーメント条件のもとで、自己正規化和は広いガウス近似範囲を維持できるか？
• RQ2 ブロックスキームの選択（ビッグブロック・スモールブロック対インターリービング）が、自己正規化中程度偏差近似の有限標本性能にどのように影響するか？
• RQ3 依存性およびモーメント条件が、自己正規化統計量のための中程度偏差範囲に与える影響は何か？
• RQ4 自己正規化統計量は、従属時系列の高次元推論において信頼性を持って使用できるか？
• RQ5 機能的依存度測度およびβ-混合係数が、中程度偏差結果における理論的バウンドに与える影響は何か？

主な発見

• シミュレーションにおいて、インターリービングスキームに基づく自己正規化和は、ビッグブロック・スモールブロックスキームよりも優れた有限標本性能を示した。
• 弱い依存性および弱いモーメント条件のもとで、自己正規化和の中程度偏差範囲は、同じモーメント制約下での非自己正規化和よりも広がっていることが示された。
• i.i.d. 列において $ E|X_i|^{2+ u} < ty $ が成り立つ場合、自己正規化和の中程度偏差範囲は $ O(n^{1/2}) $ であり、i.i.d. ケースと一致する。
• 中程度偏差の範囲は、モーメント条件 $ u $ および依存度の両方に依存しており、特にインターリービングスキームがより大きな有効範囲を達成していることが分かった。
• 弱いモーメントおよび依存性条件のもとで、$ x $ が $ O(n^{1/2}) $ までに達する範囲において、比 $ P(T_n \to x) / (1 - \bar{\Phi}(x)) $ は $ \exp(O(1)(1+x)^{2+ u}/d_{n, u}^{2+ u}) $ で有界である。
• 理論的結果は、高次元時系列平均ベクトルの多重検定および同時信頼区間への応用に拡張され、従来のi.i.d.手法を従属設定に一般化した。