[論文レビュー] Self-organized "slimming" of power law tails by increasing market returns

Didier Sornette|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2000

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、先行モデルで観察されたべき乗則的尾部（指数が1未満）が実証的観察と矛盾するのを解消する一般化された有理的バブルモデルを提案する。市場の報酬プレミアムを割引率を超えて導入することで、期待リターンの上昇に伴い尾部が薄くなり、ボラティリティが増加することが示され、これは小規模リスクと極端リスクの自己組織的バランスを市場が達成していることを示唆する。

ABSTRACT

We introduce a simple generalization of rational bubble models which removes the fundamental problem discovered by [Lux and Sornette, 1999] that the distribution of returns is a power law with exponent less than 1, in contradiction with empirical data. Our model predicts that, the higher is the market remuneration above the discount rate, the thinner is the tail of price returns but the larger is the volatility. Financial markets seem to have self-organized to balance “small ” and extreme risks. 1 The fundamental constraint on distribution of returns of rational bubbles Since the publication of the original contributions on rational expectations (RE) bubbles by [Blanchard, 1979] and [Blanchard and Watson, 1982], a huge literature has emerged on theoretical refinements of the original concept and the empirical detectability of RE bubbles in financial data (see [Camerer, 1989] and [Adam and Szafarz, 1992], for surveys of this literature). Recently, [Lux and Sornette, 1999] studied the implications of the bubble models for the unconditional distribution of prices, price changes and returns resulting from a very general discrete-time formulation of rational speculative bubbles: Bt+1 = atBt + bt, (1) where at and bt i.i.d. random variables drawn from some non-degenerate probability density function (pdf) Pa(a) and Pb(b) respectively with E[bt] = 0. In (1), Bt denotes the difference between the observed price and the fundamental price and can thus be negative. Denoting E[.] the expectation operator, provided E[ln a] < 0 (stationarity condition) and if there is a number µ such that 0 < E[|b | µ] < +∞, E[|a | µ] = 1 (2) and E[|a | µ ln |a|] < +∞, then the tail of the distribution of B is asymptotically a power law

研究の動機と目的

• 期待リターンの分布がべき乗則的尾部（指数が1未満）を示すという、有理的バブルモデルにおける根本的不整合を解消すること。これは実証的データと矛盾する。
• 割引率を超える市場報酬が、価格リターンの尾部行動およびボラティリティに与える影響を調査すること。
• 資産価格形成における構造的ダイナミクスを通じて、金融市場が小規模リスクと極端リスクの暴露を自己組織的にバランスさせるかどうかを検討すること。
• 離散時間有理的バブルモデル（Bt+1 = atBt + bt）を一般化し、実証的観察と整合するべき乗則的尾部行動を許容すること。
• バブル成分 Bt の分布が漸近的にべき乗則的尾部（実証的妥当な指数を有する）を示すための条件を確立すること。

提案手法

• 離散時間有理的バブルモデル Bt+1 = atBt + bt を一般化し、at および bt が与えられた確率密度関数に従う独立同分布の確率変数であると仮定する。
• 定常性条件 E[ln a] < 0 とモーメント条件 E[|b|μ] < ∞ および E[|a|μ] = 1（ある μ > 0 に対して）を課す。
• これらの条件下で Bt の漸近的尾部行動を導出し、Bt の分布がモーメント条件によって決定されるべき乗則に従うことを示す。
• 市場報酬（すなわち、割引率に対する期待リターンの上昇）が尾部の厚さおよびボラティリティに与える影響を分析する。
• 収束を保証し、べき乗則分布の尾指数を特徴付けるために、E[|a|μ ln|a|] < ∞ を含むモーメント条件を用いる。
• 期待リターンの上昇が尾部を薄くする（尾指数を大きくする）ことと、ボラティリティを増大させることを示し、金融市場における自己組織的メカニズムを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ伝統的な有理的バブルモデルは、実証的リターン分布と矛盾するべき乗則的尾部（指数が1未満）を生じるのか？
• RQ2 割引率を超える市場報酬の上昇が、有理的バブルモデルにおける価格リターンの尾部の厚さおよびボラティリティにどのように影響するか？
• RQ3 資産価格形成における構造的ダイナミクスを通じて、金融市場が小規模リスクと極端リスクの暴露を自己組織的にバランスさせる可能性はあるか？
• RQ4 バブル成分 Bt が実証的データに整合するべき乗則的尾部を示すために必要なおよび十分なモーメント条件は何か？
• RQ5 一般化モデルは、理論的予測と金融リターン分布の実証的観察をどのように調和させるか？

主な発見

• 本モデルは、高い市場報酬がリターン分布におけるべき乗則的尾部を薄くすることを示すことにより、先行有理的バブルモデルにおける矛盾を解消する。
• 市場報酬の上昇は、より大きなボラティリティをもたらし、尾部リスクと市場全体のリスクテイキングのトレードオフを示している。
• バブル成分 Bt の分布の尾指数は、E[|a|μ] = 1 および E[|a|μ ln|a|] < ∞ を含むモーメント条件によって決定される。
• モデルは、期待リターンとボラティリティの相互作用を調整することによって、金融市場が小規模リスクと極端リスクのバランスを自己組織的に達成すると予測する。
• 指定されたモーメント条件下で、Bt の漸近的尾部行動はべき乗則に従い、その指数は確率的乗数 at の分布に依存する。
• 理論的予測を観察された金融データと一致させるために、割引率を超えるプレミアムをモデルに組み込むことで、実証的妥当な尾指数が達成される。