[論文レビュー] Self-Referential Definition of Orthogonality

Elemér E Rosinger, Gusti van Zyl|ArXiv.org|Apr 1, 2009

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、生成される部分空間における線形係数の従属関係を用いて、内積に依存しない自己言及的で非内積に基づくベクトル空間における直交性の定義を提案する。外的な基底ベクトルから係数関数の独立性を定義することにより、自己言及的ではあるが論理的に整合性のある特徴付けを構築し、内積空間における標準的直交性と整合する。非整礎集合論を用いて自己言及性を正当化する。

ABSTRACT

There has for longer been an interest in finding equivalent conditions which define inner product spaces, and the respective literature is considerable, see for instance Amir, which lists 350 such results. Here, in this tradition, an alternative definition of orthogonality is presented which does not make use of any inner product. This definition, in the spirit of the recently developed non-wellfounded set theory, is self-referential, or circulatory.

研究の動機と目的

• 内積やノルムに依存しないベクトル空間における直交性の定義を目的とする。
• 有限次元部分空間のみを用いて直交性を特徴付ける基礎的課題を解決することを目的とする。
• 非整礎集合論内での論理的整合性を保つ自己言及的または循環的な直交性の定義を導入することを目的とする。
• 有限次元設定において標準的内積に基づく直交性と一致する代替的特徴付けを提供することを目的とする。

提案手法

• 実ベクトル空間 V における m-重組みの線形独立性とスパンを定義する。
• m 個の線形独立なベクトルのスパン内での一意な線形結合を通じて、係数関数 λi(a1,…,am,x) を導入する。
• 各 λi が他の基底ベクトル aj (j≠i) に依存しないこと、つまり表現が全 m-重組み上で定義されてもその依存性がないことを直交性の条件として定式化する。
• 係数関数のグラフを表すために、集合論的構成 Γ ⊆ V^m × V を用い、Ort^m_V を Γ を V^m に射影したものの集合として定義する。
• Zorn の補題を用いて、係数独立性が成り立つ最大部分集合の存在を証明し、包含に関して閉じていることを保証する。
• 自己言及的性質を非整礎集合論を用いて正当化し、循環的定義が論理的に有効であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル空間における直交性は、内積やノルムに言及せずに定義可能か？
• RQ2 内積が存在しない状況で、係数関数 λi が「aj (j≠i) に依存しない」とは、具体的に何を意味するのか？
• RQ3 自己言及的または循環的な直交性の定義は、どのように論理的に整合的かつ数学的に有効であると説明できるか？
• RQ4 提案された定義は、内積空間における標準的直交性と同値か？
• RQ5 有限次元部分空間と係数独立性のみを用いて、直交性の概念を完全に特徴付けられるか？

主な発見

• 本稿では、内積を必要とせず、部分空間における線形結合の構造のみに依存する直交性の定義を確立した。
• 直交性は、各係数関数 λi が ai を除くすべての基底ベクトルに依存しないこととして定義され、これはグラフ Γ 及びその V^m への射影を通じて形式化された。
• 集合 Ort^m_V は、係数独立性条件を満たすタプルの集合 Γ の射影であることが示された。
• m=2 の場合、定義は標準的な幾何的条件に還元される：x ∈ span(a1,a2) における係数は、ai と x のみに依存し、もう一方の基底ベクトルに依存しない。
• 自己言及的性質は非整礎集合論を用いて形式的に正当化され、循環的定義が論理的に整合可能であることが保証された。
• Zorn の補題により、係数独立性が成り立つ最大部分集合 Γ̄ が存在することが示され、係数独立性が成り立つ最大構成が保証された。