[論文レビュー] Self-shrinkers of the mean curvature flow in arbitrary codimension

Knut Smoczyk|ArXiv.org|Jul 15, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、任意のcodimensionにおける平均曲率流れのコンpact自己収縮体を分類し、そのような部分多様体が球面であるための必要十分条件を示した。すなわち、平均曲率ベクトルが消えないことと、主法線が法バンドル内で平行であることとが、球面性と同値である。さらに、同様の条件下で、完全な非コンパクト自己収縮体についても分類を行い、それらがアブレスコ＝ランジャーカーブとユークリッド空間の積であることを示した。これはハイズケンの超曲面分類を高次元codimensionへ拡張し、曲率および法バンドル構造に関する幾何学的・解析的技法を用いた。

ABSTRACT

For hypersurfaces of dimension greater than one, Huisken showed that compact self-shrinkers of the mean curvature flow with positive scalar mean curvature are spheres. We will prove the following extension: A compact self-similar solution in arbitrary codimension and of dimension greater than one is spherical, i.e. contained in a sphere, if and only if the mean curvature vector \be H\ee is non-vanishing and the principal normal \beν\ee is parallel in the normal bundle. We also give a classification of complete noncompact self-shrinkers of that type.

研究の動機と目的

• ハイズケンによる球面としてのコンパクト超曲面の分類を、高次元codimensionにおける自己収縮体へ拡張すること。
• 平均曲率ベクトルが消えないことと、主法線が法バンドル内で平行であることの下で、任意のcodimensionにおけるコンパクト自己収縮体が球面的であることを特徴づけること。
• 同様の幾何的条件下で、完全な非コンパクト自己収縮体を分類すること。
• アブレスコ＝ランジャーの自己収縮曲線の分類を、積構成および法バンドル解析を用いて高次元codimensionへ一般化すること。
• 自己収縮体をモデル解として用いることで、平均曲率流れの特異点における吹き上がり挙動を分類すること。

提案手法

• 自己収縮体方程式 $ H = -F^\perp $ を用い、ここで $ H $ は平均曲率ベクトル、$ F^\perp $ は位置ベクトルの法成分である。
• 主法線 $ \nu $ が法バンドル内で平行であるという条件を適用し、部分多様体の幾何を制約する。
• 勾配 $ \nabla|H| \neq 0 $ である領域において、平均曲率の大きさ $ |H| $ のラプラシアンを分析する。式 $ \Delta|H| = |H| - |H|^3 $ を用いる。
• 法バンドルが平坦で $ |H| > 0 $ である自己収縮体は、アブレスコ＝ランジャーカーブと $ \mathbb{R}^{m-1} $ の積として現れることを、ラグランジュ的性質および対称性を用いて示す。
• 測地的完全性および $ |H| $ の臨界点の横断的分離性を用い、局所的な積構造を大域的に拡張する。
• アブレスコとランジャーによる $ \mathbb{R}^2 $ 内の自己収縮曲線に関する結果を、任意のcodimensionへ拡張する。具体的には、任意の自己収縮曲線が2次元平面に含まれ、その平面内でアブレスコ＝ランジャーカーブと一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のcodimensionにおけるコンパクト自己収縮体が球面的であるための幾何的条件は何か？
• RQ2 平均曲率ベクトルが消えないことと、主法線が法バンドル内で平行であることの下で、自己収縮体の分類を超曲面を超えて高次元codimensionの部分多様体へ拡張できるか？
• RQ3 平均曲率ベクトルが消えず、主法線が法バンドル内で平行であるという条件下で、高次元codimensionにおける完全な非コンパクト自己収縮体は何か？
• RQ4 自己収縮体の曲率および法バンドル構造は、その大域的幾何にどのように制約を加えるか？
• RQ5 法バンドルが平坦で $ |H| > 0 $ である自己収縮体の積構造は、アブレスコ＝ランジャーカーブとユークリッド空間の積として完全に特徴づけられるか？

主な発見

• 任意の $ m \geq 2 $ に対して、$ \mathbb{R}^n $ 内のコンパクト自己収縮体 $ M^m \subset \mathbb{R}^n $ が球面的であるための必要十分条件は、平均曲率ベクトル $ H $ が消えないことと、主法線 $ \nu $ が法バンドル内で平行であることである。
• 同様の条件下で、完全な非コンパクト自己収縮体は、アブレスコ＝ランジャーカーブ $ \Gamma $ と $ \mathbb{R}^{m-1} $ の大域的積 $ M = \Gamma \times \mathbb{R}^{m-1} $ として表される。
• $ \mathbb{R}^n $ 内の任意の自己収縮曲線は2次元平面に含まれ、その平面内でアブレスコ＝ランジャーカーブと一致する。これは2次元分類を高次元codimensionへ一般化する。
• $ |H| $ の臨界点は積分葉に沿って横断的に分離しており、非球面的例は $ |H| $ が非退化臨界値を持つ場合にのみ出現する。
• 正則集合の2つの連結成分が境界で接する場合、それに対応するアブレスコ＝ランジャーカーブは同一でなければならない。これにより、大域的積構造が保証される。
• 正則集合上でのラプラシアン恒等式 $ \Delta|H| = |H| - |H|^3 $ は、$ |H| $ がゼロでないか、または定数でない限り、曲線が円でない限り、非自明な平坦法バンドル例は存在しないことを示唆する。