[論文レビュー] Self-Similar Dendrites Generated by Polygonal Systems in the Plane

Mary Samuel, Andrei Tetenov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、自己相似なデンドリットを生成する平面の相似写像の系である多角形木構造系を導入する。このデンドリットが局所的に連結であること、開集合条件を満たし、曲率が有界であること、および切断点が主木の像に含まれることを証明する。主な結果は、系の組み合わせ的同値性が、それらのデンドリット的吸引域の間でホルダー連続な位相空間同相を与えることである。

ABSTRACT

We consider a method of construction of self-similar dendrites on a plane and establish main topological and metric properties of resulting class of dendrites.

研究の動機と目的

• 平面における自己相似なデンドリットを、多角形的相似写像系を用いて体系的に構成する方法を確立すること。
• 得られるデンドリットの位相的および距離的性質を特徴づけること。これには、切断点、分岐点、端点が含まれる。
• このような系の組み合わせ的同値性が、それらの吸引域の間でホルダー連続な位相空間同相を与えることを証明すること。
• 多角形木構造系の吸引域が、開集合条件を満たし、後臨界的有限な構造を持つデンドリットであることを示すこと。
• 初期の多角形に基づいて、分岐点における曲率の有界性と順序の上限を確立すること。

提案手法

• 多角形の初期集合から導かれる平面の相似写像の有限集合として、多角形木構造系を定義する。
• 反復関数系を用いて、吸引域 $ K = \bigcup_{i=1}^m S_i(K) $ を用いて自己相似なデンドリットを生成する。
• 単純閉曲線を含まない局所的に連結なコンパクト連結集合であることを確認することで、吸引域がデンドリットであることを証明する。
• すべての切断点が含まれる中心的構造としての「主木」を導入する。
• Kigamiの連結性基準および交差グラフの性質を用いて、開集合条件および一点交差性を検証する。
• アドレス空間における距離の比較と、角度および収縮比に関する幾何的制約を用いて、誘導される位相空間同相のホルダー連続性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面の相似写像系の吸引域がデンドリットであるための位相的および距離的条件は何であるか？
• RQ2 このような自己相似デンドリットにおける切断点および分岐点の位置と構造をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 初期の多角形および相似写像にどのような条件を課すと、開集合条件および後臨界的有限性が保証されるか？
• RQ4 多角形木構造系の組み合わせ的同値性と、それらの吸引域の位相的同値性との関係は何か？
• RQ5 二つのこのような系の間で組み合わせ的同値性が与える位相空間同相のホルダー連続性指数は何か？

主な発見

• 任意の多角形木構造系の吸引域 $ K $ はデンドリットであり、定理1のすべての同値条件を満たす。
• この系は開集合条件、一点交差性を満たし、後臨界的有限である。
• すべての切断点は、定理19で示されたように、ある相似写像 $ S_{\mathbf{j}} $ による主木の像に含まれる。
• 任意の分岐点の順序は、反復レベルとは無関係に、初期多角形 $ P $ の関数によって上から有界である。
• 定理25で確立されたように、P. Tukiaの意味での有界曲率を有するコンパクト連結集合として、デンドリット $ K $ が成り立つ。
• 二つの多角形木構造系の組み合わせ的同値性が、一意な位相空間同相 $ \varphi: K \to K' $ を誘導し、$ \varphi $ および $ \varphi^{-1} $ が両方ともホルダー連続であることが、定理26で示された。