[論文レビュー] Self-similar Gaussian Markov processes

Benedict Bauer, Stefan Gerhold|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、すべての中心的自己相似ガウスマルコフ過程が、$ W $ を Browmian motion とし、$ c \in [-\infty, -H] $ である二パラメータ族 $ X^{H,c}_t = t^{2H+c} W(t^{-2H-2c}) $ のスケーリング版であることを確立している。主な貢献は、共分散構造によるそのような過程の完全な特徴付けであり、自己相似ガウス過程のマルコフ性または非マルコフ性を簡単な方法で検証可能にしている。

ABSTRACT

We characterize all multi-dimensional real self-similar Gaussian Markov processes. Three types of covariance matrix functions occur: white-noise type functions, covariances that can be expressed by continuous matrix semigroups, and covariances based on non-continuous solutions of Cauchy's functional equation. Characterizing the latter requires us to develop some results on the representation theory of non-continuous matrix semigroups, which are presented in a companion paper. In dimension one, besides white noise, the self-similar Gaussian Markov processes reduce to a two-parameter family of time-changed Brownian motions. This observation simplifies several proofs of non-Markovianity of concrete processes found in the literature.

研究の動機と目的

• 中心的かつ自己相似なガウスマルコフ過程のクラスを完全に特徴付けること。
• 与えられた自己相似ガウス過程が共分散関数を分析することでマルコフ的かどうかを特定すること。
• ブラウン運動やその他の自己相似過程を特別な場合として含む統一的な枠組みを提供すること。
• この特徴付けを用いて、分数次ブラウン運動および関連変種が非マルコフ的であることを証明すること。
• 漸近的に定常增量をもつ自己相似ガウス過程が半マルティンゲールでないことを確立すること。

提案手法

• 標準的なブラウン運動 $ W $ を用いて、$ X^{H,c}_t = t^{2H+c} W(t^{-2H-2c}) $ という二パラメータ族を定義し、自己相似ガウスマルコフ過程を生成すること。
• 自己相似性とマルコフ性を用いて、共分散関数 $ R(s,t) $ に対する関数方程式を導出し、$ R(s,1)R(1,1) = R(s/t,1)R(t,1) $ に至ること。
• 関数 $ g(x) = R(e^{-x},1)/R(1,1) $ を用いて共分散関数を変換し、$ g(x+y) = g(x)g(y) $ を満たすようにし、乗法的関数方程式への帰着を行う。
• アドディティブ関数に関するオストロフスキーの定理を適用し、関数方程式の解を指数型解と病理的解に分類すること。
• 極限 $ c \to -\infty $ を用いて、共分散 $ R_{H,-\infty}(s,t) = \begin{cases} t^{2H} & s=t \\ 0 & s\neq t \end{cases} $ を持つ退化過程を定義し、白色雑音型過程に対応させること。
• 付録では、確率積分表現と極限解析を用いて、漸近的に定常增量をもつある自己相似ガウス過程が半マルティンゲールでないことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心的かつ自己相似なガウスマルコフ過程の完全なクラスは何か？
• RQ2 自己相似ガウス過程のマルコフ性は、その共分散関数から単独で特定可能か？
• RQ3 なぜ分数次ブラウン運動はマルコフ的でないのか、そしてその性質はすべての変種に一様に示せるか？
• RQ4 アドディティブ関数とカウチの関数方程式は、このような過程の特徴付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 漸近的に定常增量をもつ自己相似ガウス過程は、必然的に半マルティンゲールか？

主な発見

• 中心的かつ自己相似なガウスマルコフ過程は、すべてある $ H>0 $ および $ c \in [-\infty, -H] $ に対して、$ X^{H,c} $ の定数倍に分布する。
• そのような過程の共分散関数は $ R(s,t) = R(1,1) R_{H,c}(s,t) $ であり、$ R_{H,c}(s,t) = (s \vee t)^{2H+c} (s \wedge t)^{-c} $（$ s \wedge t > 0 $）で与えられる。
• 極限 $ c \to -\infty $ は、$ R_{H,-\infty}(s,t) = t^{2H} $（$ s=t $ のとき）、それ以外は 0 である共分散を持つ過程をもたらし、これはマルコフ的かつ自己相似的である。
• この特徴付けにより、$ R_{H,c} $ 形式と一致しない過程（例：分数次ブラウン運動）の非マルコフ性を即座に検証可能である。
• 漸近的に定常增量をもつ自己相似ガウス過程は、二次変動の極限解析により、半マルティンゲールでないことが示された。
• 証明は関数方程式およびアドディティブ関数の性質に依拠しており、カウチ方程式に関するオストロフスキーの定理が主要な道具である。