[論文レビュー] Self-Similar Graphs

Kiran B. Chilakamarri, Mukhtaj Khan+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、基本図形 $G$ の頂点と辺をそれぞれ $G$ と対称的辺バンドル $J$ のコピーに再帰的に置き換えることで得られる自己相似図形を導入する。$G = K_n$ かつ $J$ が完全マッチングである場合、得られる図形は辺拡張係数 $\Phi \geq n/2$ を有する無限族を形成し、彩色数は一定のままである。これは、それらが拡張子図形としての有用性を示している。

ABSTRACT

For any graph $G$ on $n$ vertices and for any {\em symmetric} subgraph $J$ of $K_{n,n}$, we construct an infinite sequence of graphs based on the pair $(G,J)$. The First graph in the sequence is $G$, then at each stage replacing every vertex of the previous graph by a copy of $G$ and every edge of the previous graph by a copy of $J$ the new graph is constructed. We call these graphs {\em self-similar} graphs. We are interested in delineating those pairs $(G,J)$ for which the chromatic numbers of the graphs in the sequence are bounded. Here we have some partial results. When $G$ is a complete graph and $J$ is a special matching we show that every graph in the resulting sequence is an {\em expander} graph.

研究の動機と目的

• 基本図形 $G$ と対称的辺バンドル $J$ を用いた自己相似図形の再帰的構成を定義・形式化すること。
• 結果として得られる無限図形系列の彩色数が有界となるようなペア $(G,J)$ を同定すること。
• 自己相似図形が有界な拡張係数を有する拡張子図形である条件を特定すること。
• $G$ が完全グラフの場合に、彩色数が有界を保つような辺バンドル $J$ を同定すること。
• 自己相似図形の構造的およびスペクトル的性質、特に固有値と拡張挙動を調査すること。

提案手法

• 自己相似図形を再帰的に定義する：$G^1 = G$ であり、$G^k$ は $G^{k-1}$ の各頂点を $G$ のコピーに、各辺を $J$ のコピーに置き換えることで得られる。
• 隣接ルールを用いる：(1) $G$ のコピー内での辺は保持される；(2) $G^{k-1}$ の対応する頂点が隣接しており、かつ $J$ の対応するインデックスが接続されている場合、コピー間の辺が追加される。
• 隣接行列を、$A(G^{k-1})$ と単位行列に対応するブロック行列としてモデル化し、行列式恒等式を用いてスペクトル解析を可能にする。
• 文献[7]の固有値公式を適用して $G^k$ のスペクトルを計算し、特に $G = K_n$ かつ $J$ が完全マッチングの場合を扱う。
• スペクトルギャップを用いて辺拡張係数 $\Phi(G^k)$ を導出し、$G = K_n$ かつ $J$ がマッチングであるとき $k \geq 1$ に対して $\Phi(G^k) \geq n/2$ を示す。
• 数学的帰納法を用いて $G^k$ のスペクトルが $\{-k, -k+n, \dots, -k+kn\}$ であることを証明し、これにより拡張係数の下界が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$ が完全グラフの場合、どの対称的辺バンドル $J$ に対して、自己相似図形系列 $\{G^k\}$ の彩色数が有界に保たれるか？
• RQ2 $G = K_n$ かつ $J$ が完全マッチングであるとき、すべての $k$ に対して辺拡張係数 $\Phi(G^k)$ が一様に下限で抑えられるか？
• RQ3 一般のグラフ $G$ とマッチング $J$ を用いた自己相似図形 $\{G^k\}$ の辺拡張係数は、常に $\Phi(G)$ 以上であるか？
• RQ4 任意のグラフ $G$ に対して $\chi_\infty(G,J) < \infty$ となるような辺バンドル $J$ の完全な特徴付けは何か？
• RQ5 固有値 $G^k$ はどのように再帰的に変化し、どのスペクトル的性質が有界な拡張を保証するか？

主な発見

• $G = K_n$ かつ $J$ が完全マッチング（すなわち $E(J) = \{(i,i^\prime)\}$）であるとき、すべての $k \geq 1$ に対して辺拡張係数 $\Phi(G^k) \geq n/2$ が成り立つ。これは、図形が固定された下限を持つ拡張子図形であることを示している。
• $G = K_n$ かつ $J$ が完全マッチングであるとき、自己相似図形の彩色数は、図形のサイズが指数関数的に増大しても常に $n$ のまま一定のままである。
• $G = K_n$ かつ $J$ がマッチングであるとき、$G^k$ のスペクトルは $\{-k, -k+n, \dots, -k+kn\}$ に等しく、これは帰納法と行列式恒等式を用いて導出される。
• $G^k$ の頂点拡張係数は $1/(2k)$ よりも大きい。これは、図形が成長しても拡張性が保たれていることを示している。
• $G = K_n$ かつ $J = K_{nn}$ からマッチングを除いた場合、スペクトルギャップから $\Phi(G^k) \geq (n-1)^{k-2}(n^2 - 2n)/2$ が得られ、$k$ が大きいほど強い拡張性を示すが、一様に有界ではない。
• 本稿では、$\chi_\infty(K_n, J) < \infty$ を満たすすべての辺バンドル $J$ を特徴付け、彩色数が有界となるのは、$J$ が特定の高密度構成を避ける場合に限ることを示している。