[論文レビュー] Self-Similar Jordan Arcs Which Do Not Satisfy OSC

Andrei Tetenov, Kirill Kamalutdinov+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、R³における自己相似なジョルダン曲線を、開集合条件（OSC）を破るが、一点での交わりを満たすように構成する。これにより、3次元においては有限交わり性がOSCを意味しないことが示された。修正されたザイパービルドアップ法と、複素乗法群の稠密部分群の分析を用いて、非WSP（弱分離性）を保ちつつ単純な位相的構造を維持するように類似写像系を変形することで、このような曲線の存在を証明する。

ABSTRACT

It was proved in 2007 by C.Bandt and H.Rao that if a system $S = \{S_1 , ..., S_m \}$ of contraction similarities in $R^2$ with a connected attractor $K$ has the finite intersection property, then it satisfies OSC. We construct a self-simiilar Jordan arc in $R^3$, defined by a system $S$ , which does not satisfy OSC and at the same time has one-point intersection property.

研究の動機と目的

• R³における有限交わり性が開集合条件（OSC）を意味するかという未解決問題を解消すること。
• 自己相似系の明示的例を構成し、その吸引集合がジョルダン曲線であるがOSCを満たさないものとする。
• このような系において弱分離性（WSP）も破られることが示され、既知の反例がOSCにとどまらないことが拡張されること。

提案手法

• ザイパービルドアップ法を用いて、指定された頂点およびシグネチャ制約を満たすR³における自己相似曲線を定義する。
• 類似写像に幾何的条件（A1–A6）を課し、吸引集合がジョルダン曲線であり、交わりが制御されることを保証する。
• 一般位置定理（定理2）を適用して、曲線の交わりを引き起こすパラメータ値のヒルベルト次元を上限付ける。
• バーンズレーのコラージュ定理に基づく変形結果（命題3）を用いて、系の小さな摂動下での双リプシッツ性を制御する。
• C*の第二種類の2生成子稠密部分群の性質を用いて、パラメータ空間における稠密軌道行動を保証する。
• 第二種類の稠密部分群に関する定理4を活用し、恒等写像に近づく写像の合成列を構成することで、WSPの破れを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R²においてそうであるように、R³において有限交わり性は開集合条件（OSC）を意味するのか？
• RQ2 R³における自己相似なジョルダン曲線を、制御された交わりを保ちつつOSCを破るように構成することは可能か？
• RQ3 自己相似系がWSPを破るが、依然としてジョルダン曲線を吸引集合として持つことは可能か？
• RQ4 複素乗法群の稠密部分群は、このような病理的例の構成においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 類似写像系の小さな変形が、非WSPを保ちつつ単純な位相的構造を維持できるか？

主な発見

• 本稿では、R³における収縮写像 S = {S₁,…,Sₘ} の自己相似系 S を構成し、その吸引集合が R³ 内のジョルダン曲線 γ ⊂ R³ であることを示した。
• 系 S は、一点での交わり性を満たしているが、開集合条件（OSC）を満たさない。
• 弱分離性（WSP）も破れていることが、恒等写像に近づく写像の合成列の存在によって示された。
• 吸引集合 γ はジョルダン曲線である。これは、単純で自己交差のない連続曲線であることを意味する。
• 交わりが制御されたザイパーに基づく系に依存しており、交わりが生じるパラメータ空間の集合はヒルベルト次元 ≤ 2/α である。ただし α > 3/4 である。
• C²における第二種類の稠密部分群の生成子の稠密性により、このような系の存在が保証され、パラメータ空間における所望の力学的挙動が実現される。