[論文レビュー] Self-Similar $k$-Graph C*-Algebras

Hui Li, Dilian Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、離散群がk図形上で自己相似的作用を定義し、普遍的 C*-代数 $\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ を構成する。この代数は $\mathbb{N}^k$ 上の積系の Cuntz-Pimsner代数に同型であることが示され、$G$ がアメーブルで作用が擬自由であるとき、$\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ は「パスに類似した」群札 C*-代数に同型となる。これにより分類が可能となり、$\Lambda$ が非ゼロのグラフトレースを持つかどうかに応じて、$\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ は安定的に有限または純粋に無限大であることが判明する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a notion of a self-similar action of a group $G$ on a $k$-graph $Λ$, and associate it a universal C*-algebra $Ø_{G,Λ}$. We prove that $Ø_{G,Λ}$ can be realized as the Cuntz-Pimsner algebra of a product system. If $G$ is amenable and the action is pseudo free, then $Ø_{G,Λ}$ is shown to be isomorphic to a "path-like" groupoid C*-algebra. This facilitates studying the properties of $Ø_{G,Λ}$. We show that $Ø_{G,Λ}$ is always nuclear and satisfies the Universal Coefficient Theorem; we characterize the simplicity of $Ø_{G,Λ}$ in terms of the underlying action; and we prove that, whenever $Ø_{G,Λ}$ is simple, there is a dichotomy: it is either stably finite or purely infinite, depending on whether $Λ$ has nonzero graph traces or not. Our main results generalize the recent work of Exel and Pardo on self-similar graphs.

研究の動機と目的

• Exel と Pardo の自己相似的グラフ C*-代数に関する研究を、より高いランクの $k$-図形へ一般化すること。
• 群 $G$ が $k$-図形 $\Lambda$ に自己相似的作用を定義し、関連する普遍的 C*-代数 $\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ を構成すること。
• $\mathcal{O}_{G,\Lambda}$、Cuntz-Pimsner代数、および「パスに類似した」群札 C*-代数 $\mathrm{C}^*({\mathcal{G}}_{G,\Lambda})$ 間の同型を確立すること。
• $G$ がアメーブルで作用が擬自由である条件下で、$\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ の核的性、UCT性、単純性を特徴づけること。
• $\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ が単純である場合、$\Lambda$ が非ゼロのグラフトレースを持つかどうかに応じて、安定的に有限または純粋に無限大であるという二分法を証明すること。

提案手法

• 離散群 $G$ が $k$-図形 $\Lambda$ に自己相似的作用を定義し、ランク1の場合の一般化を行う。
• $\mathbb{N}^k$ 上の積系 $X_{G,\Lambda}$ を構成し、$\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ をその Cuntz-Pimsner代数として実現する。
• 「パスに類似した」群札 $\mathcal{G}_{G,\Lambda}$ を導入し、これはランク1図形に対する Exel-Pardo の構成を一般化する。
• Cuntz-Nica-Pimsner代数の独自性定理（Carlsen-Larsen-Sims-Vittadello）を用いて、$\mathcal{NO}_{X_{G,\Lambda}} \cong \mathrm{C}^*(\mathcal{G}_{G,\Lambda})$ を示す。
• 商写像と独自性を用いて、$\mathcal{O}_{G,\Lambda} \cong \mathcal{NO}_{X_{G,\Lambda}} \cong \mathrm{C}^*(\mathcal{G}_{G,\Lambda})$ を証明する。
• 最近の群札 C*-代数に関する結果を応用し、$\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ の単純性および純粋無限大性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $k$-図形上の自己相似的群作用を定義すれば、ランク1の場合に一般化できるか？
• RQ2 $\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ の構造はどのようなものか？
• RQ3 $\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ が群札 C*-代数に同型となる条件は何か？
• RQ4 $\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ が単純であるとはどのような状況か？ また、その分類が安定的に有限か純粋に無限大かを決定するのは何か？
• RQ5 $\Lambda$ に非ゼロのグラフトレースが存在するか否かが、$\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ の型にどのように影響するか？

主な発見

• $\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ は $\mathbb{N}^k$ 上の積系の Cuntz-Pimsner代数に同型である。
• $G$ がアメーブルで作用が擬自由であるとき、$\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ は群札 C*-代数 $\mathrm{C}^*(\mathcal{G}_{G,\Lambda})$ に同型である。
• $\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ は常に核的であり、Universal Coefficient Theorem を満たす。
• $\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ の単純性は、$\Lambda$ の $G$-共終性および $G$-非周期性によって特徴づけられる。
• $\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ が単純である場合、$\Lambda$ が非ゼロのグラフトレースを持つならば安定的に有限であり、そうでなければ純粋に無限大である。
• $\mathcal{O}_{G,\Lambda}$ が単純かつ純粋に無限大である場合、これはキルヒバーグ代数であり、K理論によって分類可能である。