[論文レビュー] Self-similarity parameter estimation and reproduction property for non-Gaussian Hermite processes

Alexandra Chronopoulou, Frédéri Viens+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2008

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多重ウィener-イトウ積分とマルリャヴィン計算を用いて、非ガウス型エルミート過程に対する再現性の性質を確立し、これらの過程の変動が、異なる次数およびフラクタル指数を持つ新たなエルミート過程を生成することを示している。離散観測からの自己相似パラメータ $ H $ の一貫性推定器を提案し、非中心極限定理および $ L^p $ 収束結果を用いて証明している。

ABSTRACT

We consider the class of all the Hermite processes $(Z_{t}^{(q,H)})_{t\\in \\lbrack 0,1]}$ of order $q\\in \\mathbf{N}^{\\ast}$ and with Hurst parameter $% H\\in (\\frac{1}{2},1)$. The process $Z^{(q,H)}$ is $H$-selfsimilar, it has stationary increments and it exhibits long-range dependence identical to that of fractional Brownian motion (fBm). For $q=1$, $Z^{(1,H)}$ is fBm, which is Gaussian; for $q=2$, $Z^{(2,H)}$ is the Rosenblatt process, which lives in the second Wiener chaos; for any $q>2$, $Z^{(q,H)}$ is a process in the $q$th Wiener chaos. We study the variations of $Z^{(q,H)}$ for any $q$, by using multiple Wiener -It\\^{o} stochastic integrals and Malliavin calculus. We prove a reproduction property for this class of processes in the sense that the terms appearing in the chaotic decomposition of their variations give rise to other Hermite processes of different orders and with different Hurst parameters. We apply our results to construct a strongly consistent estimator for the self-similarity parameter $H$ from discrete observations of $Z^{(q,H)}$; the asymptotics of this estimator, after appropriate normalization, are proved to be distributed like a Rosenblatt random variable (value at time $1$ of a Rosenblatt process).with self-similarity parameter $1+2(H-1)/q$.

研究の動機と目的

• 次数 $ q $ およびフラクタル指数 $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $ の非ガウス型エルミート過程の変動特性を調査すること。
• 混沌とした展開における変動の構造が、次数およびフラクタル指数が変化した新たなエルミート過程を生成する再現性の性質を確立すること。
• 離散観測を用いて自己相似パラメータ $ H $ の一貫性推定器を開発すること。
• 提案された推定器の収束結果を $ L^2 $ から $ L^p $-ノルムへと拡張すること。

提案手法

• 多重ウィエンル-イトウ確率積分を用いて、エルミート過程の変動を直交する混沌とした成分に分解する。
• マルリャヴィン計算を適用し、これらの変動の構造を分析し、漸近的分布を導出する。
• 非中心極限定理を用いて、正規化された2次および高次変動の極限的挙動を特徴付ける。
• 離散サンプリング下での $ q $-変動のスケーリング挙動を分析することにより、$ H $ の一貫性推定器を導出する。
• モーメントの上限を拡張し、混沌とした成分に対してホルダーの不等式を用いることで、推定器の $ L^p $ 収束を確立する。
• チェビシェフの不等式とモーメント推定を用いて、尾確率を制御し、確率的に収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルミート過程の変動の混沌とした展開は、異なるパラメータを持つ新たなエルミート過程を生成するか？
• RQ2 非ガウス型エルミート過程の離散観測から、自己相似パラメータ $ H $ を一貫して推定できるか？
• RQ3 フラクタル指数 $ H > 1 - \frac{1}{2q} $ のエルミート過程に対して、正規化された $ q $-変動の極限分布は何か？
• RQ4 推定器の収束性は、$ L^2 $ から $ L^p $-ノルムへとどのように拡張されるか？

主な発見

• 次数 $ q $ およびフラクタル指数 $ H $ のエルミート過程の変動は、次数 $ q $ および自己相似パラメータ $ q(H-1)+1 $ の新たなエルミート過程を生成し、再現性の性質が確立される。
• $ H > 1 - \frac{1}{2q} $ の場合、正規化された $ q $-変動 $ N^{q(1-H)-1}v_N^{(q)} $ は、次数 $ q $ の非ガウス型エルミート確率変数に分布収束する。
• 自己相似パラメータ $ H $ のための提案された推定器 $ \hat{H} $ は一貫性を持つ。$ N \to \infty $ のとき $ \hat{H} \to H $ が確率的に成り立つ。
• 推定器の収束は、すべての $ p \geq 1 $ に対して $ L^p(\Omega) $ で成り立つ。これは $ L^2 $ 収束結果をより強いノルムへと拡張している。
• 証明は、モーメントの上限と尾確率の推定にチェビシェフの不等式を用い、$ N \to \infty $ のとき誤差 $ |H - \hat{H}| $ が消えることを示している。