[論文レビュー] Self-simulable groups

Sebastián Barbieri, Mathieu Sablik+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2021

Cellular Automata and Applications参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、すべての有効的に閉じた零次元的作用が、有限型の部分符号の位相的因子である有限生成群である「自己模倣可能群」の概念を導入する。非可換群である自由群の直積、Burger-Mozes群、ThompsonのV、およびn ≥ 5のGLₙ(ℤ)などの群が自己模倣可能であることを証明し、自己模倣可能性が、決定可能語問題を備えた強周期的でないSFTの存在を示すことを示している。

ABSTRACT

We say that a finitely generated group $Γ$ is self-simulable if every effectively closed action of $Γ$ on a closed subset of $\{ exttt{0}, exttt{1}\}^{\mathbb{N}}$ is the topological factor of a $Γ$-subshift of finite type. We show that self-simulable groups exist, that any direct product of non-amenable finitely generated groups is self-simulable, that under technical conditions self-simulability is inherited from subgroups, and that the subclass of self-simulable groups is stable under commensurability and quasi-isometries of finitely presented groups. Some notable examples of self-simulable groups obtained are the direct product $F_k imes F_k$ of two free groups of rank $k \geq 2$, non-amenable finitely generated branch groups, the simple groups of Burger and Mozes, Thompson's $V$, the groups $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$, $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$, $\operatorname{Aut}(F_n)$ and $\operatorname{Out}(F_n)$ for $n \geq 5$; The braid groups $B_m$ for $m \geq 7$, and certain classes of RAAGs. We also show that Thompson's $F$ is self-simulable if and only if $F$ is non-amenable, thus giving a computability characterization of this well-known open problem. We also exhibit a few applications of self-simulability on the dynamics of these groups, notably, that every self-simulable group with decidable word problem admits a nonempty strongly aperiodic subshift of finite type.

研究の動機と目的

• 自己模倣可能群を定義・特徴づけること：有効的に閉じた零次元的力学系がすべて有限型部分符号によって完全に捉えられる有限生成群である。
• 特に非可換群および有限提示群のクラスにおいて、どの群が自己模倣可能であるかを特定すること。
• 自己模倣可能性に伴う力学的および計算可能性的結果を探索すること、例えば強周期的でない有限型部分符号の存在。
• 自己模倣可能群のクラスの構造的性質を調査すること、特に可換性、準等長写像、および直積に対する閉包性。
• ThompsonのFが自己模倣可能であることと非可換であることの同値性を用いて、計算可能性理論的特徴づけを提供すること。

提案手法

• 自己模倣可能群を、{0,1}^ℕ の閉部分集合上で定義されたすべての有効的に閉じた作用が、Γ-有限型部分符号の位相的因子である群として定義する。
• パラドックス的分解と記号的力学系を用いて、任意の有効的に閉じた作用を模倣する有限型部分符号を構成する。
• Hochman型模倣定理を逆方向に適用する：より大きな群によるΓ作用の模倣ではなく、Γ自身がSFTを用いて自身の力学系を模倣できることを示す。
• 非可換群およびその作用に関する結果を活用し、非可換群の直積や特定の算術群の自己模倣可能性を証明する。
• 自己模倣可能性の結果として、強周期的でないSFTの存在と決定可能語問題の両立を応用する。
• 部分作用因子や計算可能性理論的還元を含む記号的力学系および群論的手法を用いて、閉包性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群のうち、特に非可換群および算術群において、どの群が自己模倣可能であるか。
• RQ2 ThompsonのFが非可換であることと自己模倣可能であることの同値性があり、主要な未解決問題の計算可能性的特徴づけが得られるか。
• RQ3 自己模倣可能部分群から全体の群へ、自己模倣可能性が保存されるか、特に一端点群や語的双曲的群において。
• RQ4 有限提示群において、自己模倣可能性が準等長写像および可換性の下で保存されるか。
• RQ5 GLₙ(ℤ)、Aut(Fₙ)、Out(Fₙ)、およびブレード群Bₘは、小さいnおよびmについて自己模倣可能か。

主な発見

• 非可換な有限生成群のすべての直積は自己模倣可能である。
• k ≥ 2のFₖ × Fₖも、非可換な有限生成分岐群も自己模倣可能である。
• ThompsonのVは自己模倣可能であり、ThompsonのFは非可換であることと同値に自己模倣可能である。
• n ≥ 5のGLₙ(ℤ)、SLₙ(ℤ)、Aut(Fₙ)、Out(Fₙ)はすべて自己模倣可能である。
• m ≥ 7のブレード群Bₘは自己模倣可能である。
• 語問題が決定可能なすべての自己模倣可能群は、空でない強周期的でない有限型部分符号を持つ。