[論文レビュー] Selmer complexes and the $p$-adic Hodge theory

Denis Benois|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、イwasawa理論におけるセレマー複体のp進ホッジ理論的枠組みを構築し、$(\varphi,\Gamma)$-加群と正則な$(\varphi,N)$-部分加群を介してp進高さ対合を導入する。弱レオポルト予想と対合の非退化性の下で、Iwasawaコホモロジー群$H^{1}_{\mathrm{Iw}}(V,D)$が消えることが示され、これは$H^{2}_{\mathrm{Iw}}(V,D)$が$\mathscr{H}$-捩れであることを意味する。

ABSTRACT

The first part of the paper is a survey of recent results about the cohomology of $(ϕ,Γ)$-modules and its applications to the theory of Selmer complexes. In the second part we formulate a version of the Main Conjecture for $p$-adic representations which are semistable at $p$ and discuss some related topics.

研究の動機と目的

• $(\varphi,\Gamma)$-加群を用いて、セレマー複体の理論をp進ホッジ理論的設定へと拡張すること。
• $\mathbf{D}_{\mathrm{st}}(V)$の正則な$(\varphi,N)$-部分加群を介して、p進高さ対合を定義し、古典的構成を一般化すること。
• p進高さ対合の非退化性とIwasawaコホモロジー群の消えの間の関係を確立すること。
• 弱レオポルト予想と対合の非退化性の下で、$H^{1}_{\mathrm{Iw}}(V,D) = 0$を示し、これにより$H^{2}_{\mathrm{Iw}}(V,D)$が$\mathscr{H}$-捩れであることを示すこと。

提案手法

• $p$-進ガロア表現およびそのコホモロジーを$(\varphi,\Gamma)$-加群を用いて記述する。
• $\mathbf{D}_{\mathrm{st}}(V)$の$(\varphi,N)$-部分加群$D$からの局所条件を用いて、セレマー複体$\mathbf{R}\Gamma_{\mathrm{Iw}}(V,D)$を定義する。
• 環$A = \mathscr{H}/(X^2)$上の特徴的三角形における余境界写像$\beta$を介して、p進高さ対合$\left<\,,\right>_{V,D}$を構成する。
• Iwasawaコホモロジーにおける双対性を適用し、$\mathscr{H}$-加群の構造を活用して$H^{1}_{\mathrm{Iw}}(V,D)$を分析する。
• 条件C1–C3（自明なグローバル不変量、$p$で半安定、クリスタリン部分での$\varphi=1$の自明性）を課す。
• 弱レオポルト予想と対合の非退化性を用いて、Iwasawaコホモロジーの有限性および捩れ性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\varphi,\Gamma)$-加群理論と正則な$(\varphi,N)$-部分加群を用いて、p進高さ対合を体系的にどのように構成できるか。
• RQ2 p進高さ対合の非退化性とIwasawaコホモロジー群の消えの間にはどのような関係があるか。
• RQ3 Iwasawaコホモロジー$H^{1}_{\mathrm{Iw}}(V,D)$が消えるのはどのような条件下か、そしてこれは$H^{2}_{\mathrm{Iw}}(V,D)$の構造にどのような意味を持つのか。
• RQ4 p進ホッジ理論的設定におけるセレマー複体の理論は、イwasawa理論におけるメイン予想とどのように関係しているか。
• RQ5 p進高さ対合の構成をネコヴァーアルの普遍ノルム対合と比較し、両者の整合性を示せるか。

主な発見

• p進高さ対合$\left<\,,\right>_{V,D}$は、$A = \mathscr{H}/(X^2)$上の特徴的三角形における余境界写像$\beta$を用いて$\beta(x) \cup y$として定義され、$\cup$は双対性を表す。
• 弱レオポルト予想（$V^*(1)$に対して）と対合の非退化性の下で、$H^{1}_{\mathrm{Iw}}(V,D) = 0$である。
• $H^{1}_{\mathrm{Iw}}(V,D)$の消えは、$H^{2}_{\mathrm{Iw}}(V,D)$が$\mathscr{H}$-捩れであることを意味する。
• この対合の構成は、重み$\leq -2$の場合に、$D \cap \mathrm{Fil}^0 \mathbf{D}_{\mathrm{st}}(V) = \{0\}$を満たす正則な$(\varphi,N)$-部分加群$D$の存在に依存する。
• 重み$-1$の場合、$\mathbf{D}_{\mathrm{st}}(V) = D \oplus \mathrm{Fil}^0 \mathbf{D}_{\mathrm{st}}(V)$のとき対合は非退化であり、シントミックレギュレーターと整合する。
• この結果は、古典的なイwasawa理論の結果を一般化し、セレマー複体を通じてメイン予想のp進ホッジ理論的定式化を提供する。