[論文レビュー] Selmer groups of elliptic curves in degree $p$ extensions

Julio Brau|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、数体の次数 $p$ ガロア拡大における楕円曲線の $p$-セレール群のガロア不変量の $\mathbb{F}_p$-次元について、完全な公式を提供する。特に $K=\mathbb{Q}(\zeta_p)$ および $L_m = K(\sqrt[p]{m})$ の場合に焦点を当て、各素点における局所的寄与の和として次元を計算する。その条件は局所不変量、還元型、ヒルベルト記号に基づく。従来の結果を一般化し、通常還元やオイラー特性に関する仮定を排除した。

ABSTRACT

We study the growth of the Galois invariants of the $p$-Selmer group of an elliptic curve in a degree $p$ Galois extension. We show that this growth is determined by certain local cohomology groups and determine necessary and sufficient conditions for these groups to be trivial. Under certain hypotheses this allows us to give necessary and sufficient conditions for there to be growth in the full $p$-Selmer group in a degree $p$ Galois extension.

研究の動機と目的

• 数体の次数 $p$ ガロア拡大における $p$-セレール群のガロア不変量の正確な $\mathbb{F}_p$-次元を特定すること。
• $p$ における通常還元やサイクロトミックオイラー特性に関する仮定を排除することで、従来のセレール群の成長に関する結果を一般化すること。
• $K=\mathbb{Q}(\zeta_p)$ および $L_m = K(\sqrt[p]{m})$ の文脈において、$p$-拡大におけるセレール群の成長の必要十分条件を提供すること。
• 局所コホロジーおよび形式的群論を用いて、特に正則的でない還元および分裂乗法的還元を示す素点におけるセレール群次元の局所的寄与を計算すること。

提案手法

• ガロアコホロジーと局所双対性を用いて、次数 $p$ の拡大のガロア群 $G$ による固定部分モジュール $\mathrm{Sel}_p(E/L)^G$ の構造を分析する。
• ハチモリとマツノの $p$-冪拡大における $\lambda$-不変量の公式を、ガロア不変量の次元を計算するために適応する。
• $j$-不変量と $m$ の $p$-進付値に基づいて導かれる局所不変量 $u_{\ell,m}$ を導入し、分裂乗法的還元を示す素点におけるヒルベルト記号の条件を特定する。
• 形式的群論と高次の分岐理論を用い、特に $t_w = \mathrm{ord}_w(\sigma(\pi_w) - \pi_w) - 1$ の使用により、高さ $h > 1$ の形式的群におけるノーマル写像の像を計算する。
• 形式的群 $\mathcal{F}(\mathfrak{m}_L)$ におけるノーマル写像を分析し、$\mathcal{F}(\mathfrak{m}_K)/N^\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathfrak{m}_L))$ の次元が $p-2$ であることを示す。ただし $p \mid m$ のとき。
• 局所セレール群 $W_{v,L}$ 及びその次元 $\delta_v$ を用いて、全次元を素点ごとの寄与の和に分解する。還元型および分裂性に基づく場合分けを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $p$ のガロア拡大 $L/K$ に対して、$\mathrm{Sel}_p(E/L)^{\mathrm{Gal}(L/K)}$ の正確な $\mathbb{F}_p$-次元は何か？
• RQ2 特に $E$ が $p$ 上の素点で正則的でない還元を示す場合に、$p$-セレール群がどのように成長するかの局所的条件は何か？
• RQ3 分裂乗法的還元を示す素点がセレール群次元に与える寄与は、ヒルベルト記号および局所不変量を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ4 $m$ の $p$-進付値は、$K(\sqrt[p]{m})$ におけるセレール群の成長を決定づけるか？
• RQ5 非自明なオイラー特性や通常還元の仮定なしに、$p$-セレール群のガロア不変量の次元を計算できるか？

主な発見

• $\mathrm{Sel}_p(E/L_m)^{\mathrm{Gal}(L_m/K)}$ の $\mathbb{F}_p$-次元は、有限和 $\sum_v \delta_v$ で与えられ、各 $\delta_v$ は $L_m/K$ における $v$ の還元型および分裂性に依存する。
• $p$ 上の素点 $v$ で良い正則的でない還元を示す場合、$p \mid m$ ならば $\delta_v = p-2$、そうでなければ $0$ であり、この寄与は $p$ に比例して増加することが示される。
• $p$ 上にない分裂乗法的還元を示す素点 $v$ に対しては、$\delta_v = 1$ である。ただし $u_{\ell_v,m}^{(q_v-1)/p} \equiv 1 \pmod{\ell_v}$ のときであり、$u_{\ell_v,m}$ は $j$-不変量と $m$ から導かれる局所不変量である。
• $p$ 上にない非分裂乗法的還元を示す素点 $v$ に対しては、分岐や $m$ の値に関係なく $\delta_v = 0$ である。
• $v|p$ で通常還元を示す場合、$\tilde{E}(k_v)[p] \neq 0$ ならば $\delta_v = 1$ または $2$、そうでなければ $0$ である。
• $v \nmid p$ で良い還元を示す場合、$\delta_v = \dim_{\mathbb{F}_p} \tilde{E}(k_v)[p]$ であり、分解または不分解の素点では、追加条件（例：$p \mid c_v$）が満たされない限り寄与はゼロである。