[論文レビュー] Selmer groups over Z d p -extensions

Ki-Seng Tan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Z_p^d-拡大のZ^d-ピラミッド内における厳密な中間Z^e-拡大の間で、双対p-primary Selmer群X_Lの特徴的イデアルの変動を調査する。非ネーター的Iwasawa代数上でのIwasawa理論を用いて、異なる層間におけるSelmer群の特徴的イデアルの明確な関係を確立し、イデアル構造がIwasawa代数Z_p((Γ))の構造およびSelmer群の制限・誘導による挙動に支配されることを示している。

ABSTRACT

Consider an abelian variety A defined over a global field K and let L/K be a Z d -extension, unramified outside a finite set of places of K, with Gal(L/K ) = � . Let �(�) := Z p((� )) denote the Iwasawa algebra. In this paper, we study how the characteristic ideal of the �(�) -module X L, the dual p-primary Selmer group, varies when L/K is replaced by a strict intermediate Z e-extension.

研究の動機と目的

• Z^d-拡大からその厳密な中間Z^e-拡大に移行する際、双対p-primary Selmer群X_Lの特徴的イデアルがどのように変化するかを理解すること。
• Z_p^d-拡大の非ネーター的Iwasawa代数Z_p((Γ))（Γ ≅ Z_p^d）に対して、Iwasawa理論的手法を拡張すること。
• 特に制限と誘導の相互作用に注目して、Z_p^d-拡大の塔におけるSelmer群の構造を分析すること。
• Iwasawa代数とガロア作用を用いて、X_Lの特徴的イデアルの明確な式または関係を確立すること。
• 古典的なZ_p-拡大における特徴的イデアルの結果を、高ランクZ_p^d-拡大へ一般化すること。

提案手法

• Γ ≅ Z_p^d であるIwasawa代数Λ = Z_p((Γ))を用い、Z^d-拡大におけるSelmer群のガロア作用をモデル化する。
• 非ネーター的環上のIwasawaモジュールの双対性理論を適用して、双対Selmer群X_Lの構造を分析する。
• Γの異なる部分群上のIwasawaモジュール間の制限および誘導ファンクターを用いて、中間拡大間のSelmer群を関連付ける。
• Iwasawa代数の構造を活用して、X_Lの特徴的イデアルをそのモジュール表示および消滅子を用いて記述する。
• Λが次元d+1の正則環であるという事実を用いて、有限生成Λ-モジュールのFittingイデアルおよび特徴的イデアルを分析する。
• Iwasawaモジュールにおける擬似同型の理論を応用して、Z^d-拡大塔の異なる層におけるSelmer群を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L/Kが厳密な中間Z^e-拡大に置き換えられるとき、双対p-primary Selmer群X_Lの特徴的イデアルはどのように変化するか？
• RQ2 Selmer群の文脈において、Γ ≅ Z_p^d の異なる部分群上のIwasawaモジュールの間の明確な関係は何か？
• RQ3 Iwasawa代数Z_p((Γ))を用いて、高ランクZ_p^d-拡大における特徴的イデアルの構造を記述可能か？
• RQ4 非ネーター的Iwasawa代数の文脈において、制限および誘導ファンクターはSelmer群にどのように作用するか？
• RQ5 Z^d-拡大塔全体にわたって、Selmer群のどの不変量が安定的か、あるいは予測可能に変化するか？

主な発見

• Z^e-拡大上での双対Selmer群X_Lの特徴的イデアルは、Iwasawa代数Λにおける制限写像による像によって決定される。
• Iwasawa代数Z_p((Γ))の構造により、X_Lの特徴的イデアルをそのFittingイデアルを用いて明確に記述できる。
• 適切な双対性のもとで、厳密な中間Z^e-拡大上でのSelmer群X_Lは、対応する部分群からの誘導モジュールと擬似同型である。
• Z^e-拡大におけるX_Lの特徴的イデアルは、Iwasawa代数におけるノーム写像を通じて、元のZ^d-拡大におけるイデアルと関連づけられる。
• 層間における特徴的イデアルの変動は、Iwasawa代数の構造およびSelmer群のガロアモジュール構造に支配される。
• 結果として、Z_p-拡大における古典的結果が高ランクZ_p^d-拡大へ一般化され、特徴的イデアルが部分拡大への制限において予測可能に振る舞うことが示された。