[論文レビュー] Semantics, Logic, and Verification of "Exact Real Computation"

Franz Brauße, Pieter Collins+9 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2016

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 10被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、実数のための小さな命令型プログラミング言語を通じて、正確実数計算（ERC）を形式化する。代数的ADT操作と整合的で、近似に基づく意味論を組み合わせる。言語が部分的実数関数の計算においてチューリング完全であることを証明し、拡張されたホア論理を用いて厳密な正しさを保証する。また、整数と実数の上での決定可能でモデル完全な一階論理を確立し、非拡張的計算の指定と検証を可能にする。

ABSTRACT

This work formalizes Exact Real Computation (ERC): a paradigm combining (i) ALGEBRAIC imperative programming of/over abstract data types (ADTs) for CONTINUOUS structures with (ii) a selection and sound semantics of primitives computable in the sense of Recursive ANALYSIS, that is, by means of approximations -- yet presented to the user as exact. We specify a small imperative programming language for the ADT of real (i.e., including transcendental) numbers with rigorous semantics: arguments are provided, passed to and received from calls to functions (like $e^x$), and operated on EXACTLY -- with partial inequality predicate and multivalued binary SELECT and continuous conditional (aka PARALLEL-IF) operations -- yet REALIZING a function (again like $e^x$) requires only to APPROXIMATE its return value up to guaranteed absolute error $2^p$ for any given integer $p$: closure under composition is implicit. We prove this language Turing-COMPLETE: it can express precisely those partial real functions computable in the sense of Recursive Analysis; similarly for functionALs. Three basic numerical problems demonstrate both the convenience and novel control-flow considerations of this approach to Reliable Numerics: multivalued integer rounding, solving systems of linear equations, and simple root finding. For rigorously specifying and arguing about such (non-extensional) computations, we propose a first-order theory over two sorts: integers and reals; and prove it both decidable and 'model complete': thus reflecting the elegance inherent to real (as opposed to rational/floating point) numbers. Rules of Hoare Logic are extended to support formal correctness proofs in ERC.

研究の動機と目的

• 実数および超越数の抽象データ型（ADT）を用いて、連続的構造上の正確計算のプログラミングパラダイムを形式化すること。
• 近似による計算が行われるが、ユーザー側の意味論が正確であるように、再帰的解析における計算可能関数を命令型言語に統合すること。
• 部分的等価、多値選択、連続的条件分岐といった非拡張的計算を扱うための、厳密な推論の基盤を提供すること。
• 言語が再帰的解析で計算可能な部分的実数関数のクラスに対してチューリング完全であることを証明すること。
• 整数と実数の上での決定可能でモデル完全な一階論理を定義し、ERCプログラムの指定と検証を可能にすること。

提案手法

• 実数のためのADTを備えた小さな命令型言語を設計し、$e^x$ などの正確な演算と部分的不等号述語をサポートする。
• 非拡張的挙動を扱うために、多値の2項SELECTおよび連続的条件分岐（PARALLEL-IF）演算を導入する。
• 近似による計算可能性を定義する：任意の整数 $p$ に対して、関数が $2^p$ の誤差範囲内で近似可能でなければならない。これにより、誤差の保証が得られる。
• 構成上、関数合成に関して閉じていることから、プログラムの各部品間で計算可能性が保たれる。
• 整数と実数の2つの型を備えた一階論理を提唱し、決定可能かつモデル完全であることを保証する。これにより、形式的検証が可能になる。
• ERCに特化したルールを備えたホア論理の拡張により、実数計算を含むプログラムの形式的正しさの証明が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似に基づく実装に依存しながらも、実数の正確計算をサポートする実用的な命令型プログラミング言語を設計することは可能か？
• RQ2 多値選択や連続的条件分岐といった非拡張的演算を、計算的に整合的な枠組みに形式的に統合する方法は何か？
• RQ3 整数と実数の上での決定可能でモデル完全な一階論理を定義し、正確実数計算の推論を可能にするのは可能か？
• RQ4 再帰的解析で計算可能な部分的実数関数のクラスを正確に表現できるようにするための論理的・意味論的基盤は何か？
• RQ5 ホア論理による形式的検証を、正確実数計算の独自の制御フローと意味論的特徴をサポートするように拡張するにはどうすればよいか？

主な発見

• 提案された言語は、再帰的解析で計算可能な部分的実数関数のクラスに対してチューリング完全であり、その表現力が裏付けられる。
• 言語は、$e^x$ などの超越関数を含む、実数に対する正確なユーザー層の演算をサポートするが、内部的には誤差の保証された近似に依存する。
• 整数と実数の上での一階論理は決定可能かつモデル完全であり、ERCプログラムの厳密な仕様化と検証が可能になる。
• ホア論理のERCへの拡張により、連続的条件分岐や多値演算を含むプログラムの形式的正しさの証明が可能になる。
• 多値整数丸め、線形方程式系、根の探索という3つの基本的数値問題が、言語の表現力と新しい制御フロー要件を示している。
• このフレームワークは、正確実数計算を用いた信頼性の高い数値計算のための、整合的で洗練され、形式的根拠に基づいた基盤を提供する。