[論文レビュー] Semi-Algebraic Proofs, IPS Lower Bounds and the $ au$-Conjecture: Can a Natural Number be Negative?

Yaroslav Alekseev, Dima Grigoriev+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 47被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、自然数の2進表現が負になり得ないことを符号化する「2進値原理」と呼ばれるサブセット和インスタンスを導入し、Shub-Smale予想とτ予想に基づく条件付き超多項式下界を理想証明系（IPS）の反証に対して確立する。短いIPS反証が存在することは、代数的証明系が半代数的系を完全に模倣できるための必要十分条件であり、証明複雑性における代数的および半代数的推論の根本的分離を明らかにする。

ABSTRACT

We introduce the binary value principle which is a simple subset-sum instance expressing that a natural number written in binary cannot be negative, relating it to central problems in proof and algebraic complexity. We prove conditional superpolynomial lower bounds on the Ideal Proof System (IPS) refutation size of this instance, based on a well-known hypothesis by Shub and Smale about the hardness of computing factorials, where IPS is the strong algebraic proof system introduced by Grochow and Pitassi (2018). Conversely, we show that short IPS refutations of this instance bridge the gap between sufficiently strong algebraic and semi-algebraic proof systems. Our results extend to full-fledged IPS the paradigm introduced in Forbes et al. (2016), whereby lower bounds against subsystems of IPS were obtained using restricted algebraic circuit lower bounds, and demonstrate that the binary value principle captures the advantage of semi-algebraic over algebraic reasoning, for sufficiently strong systems. Specifically, we show the following: (abstract continues in document.)

研究の動機と目的

• 2進表現された自然数の非負性を符号化する2進値原理の証明複雑性を調査すること。
• 代数的複雑性における有名な予想に基づき、理想証明系（IPS）の反証に対して条件付き超多項式下界を確立すること。
• 代数的証明系（例：IPS）と半代数的証明系（例：PositivstellensatzおよびLS∞+）の関係を明確にし、一方が他方を模倣できる条件を示すこと。
• 和の平方（SoS）および関連するシステムを捉える強力な半代数的証明系として、Cone証明系（CPS）を導入すること。
• IPSが2進値原理を反証できるかどうかが、すべての既知の半代数的証明系を模倣できるかどうかの鍵となる閾値であることを示すこと。

提案手法

• 2進値原理を、ブール変数 x_i を用いた不満足な方程式 ∑_{i=1}^n 2^{i-1}x_i = -1 として導入する。
• 階乗の計算の困難性に関するShub-Smale予想を用いて、有理数体上でのIPS反証に対して条件付き超多項式下界を導出する。
• τ予想を用いて有理関数環への拡張を行い、その設定下での2進値原理の変種に対する下界を証明する。
• Cone証明系（CPS）を、代数的回路を介して和の平方証明を表現する半代数的証明系として定義する。
• IPSが整数環 Z および有理数体 Q 上で2進値原理の多項式サイズの反証を許容する場合かつその場合に限り、IPSはCPSと多項式的に同値であることを証明する。
• IPSにおける新しいケース別証明原理を活用し、ブール変数に関するケース解析が多項式サイズでシミュレート可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Shub-Smale予想は、有理数体上での2進値原理に対するIPS反証サイズに超多項式下界を導くか？
• RQ2 τ予想は、有理関数環上での2進値原理の変種に対するIPS反証に超多項式下界を導くか？
• RQ3 IPSが2進値原理を反証できる能力が、すべての既知の半代数的証明系を模倣できるかどうかの必要十分条件であるか？
• RQ4 2進値原理は代数的証明系と半代数的証明系の間を橋渡しする役割を果たすか？
• RQ5 2進値原理の短い反証が、代数的証明系の半代数的証明系に対する能力を特徴づけるのに使えるか？

主な発見

• Shub-Smale予想のもとでは、有理数体 Q 上での2進値原理に対するIPS反証は超多項式サイズを要する。
• τ予想のもとでは、有理関数環上での2進値原理の変種に対するIPS反証に対しても超多項式サイズを要する。
• 2進値原理は閾値として機能する：IPSが整数環 Z および有理数体 Q 上で多項式サイズの反証を許容する場合かつその場合に限り、すべての既知の半代数的証明系を模倣できる。
• Cone証明系（CPS）は、CNFを不等式として表現した場合にPositivstellensatz、SoS、LS∞+ を模倣する強力な半代数的証明系として導入される。
• IPSが2進値原理の多項式サイズ反証を許容する場合に限り、IPSはCPSと多項式的に同値である。
• IPSにおける新しいケース別証明原理が確立され、ブール変数に関するケース解析が多項式サイズでシミュレート可能であることが示され、これによりケース列挙を用いた条件付き下界が得られる。