[論文レビュー] Semi-closed form prices of barrier options in the Hull-White model

Andrey Itkin, Dmitry Muravey|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、時間依存 Hull-White モデルにおけるゼロクーポンボンド上のダウン・アンド・アウト・バリア・オプションについて、2つの新規手法である熱ポテンシャル法（HP）と一般化積分変換法（GIT）を用いて、半閉形式の解を提示する。この手法は、1次種の線形ボルテラ積分方程式を数値的に解き、オプション価格を1次元積分として評価する。有限差分法と比較して、計算効率と精度が高く、積分記号の下での微分を用いた高速なギャスクォンピューテーションが可能である。

ABSTRACT

In this paper we derive semi-closed form prices of barrier (perhaps, time-dependent) options for the Hull-White model, ie., where the underlying follows a time-dependent OU process with a mean-reverting drift. Our approach is similar to that in (Carr and Itkin, 2020) where the method of generalized integral transform is applied to pricing barrier options in the time-dependent OU model, but extends it to an infinite domain (which is an unsolved problem yet). Alternatively, we use the method of heat potentials for solving the same problems. By semi-closed solution we mean that first, we need to solve numerically a linear Volterra equation of the first kind, and then the option price is represented as a one-dimensional integral. Our analysis shows that computationally our method is more efficient than the backward and even forward finite difference methods (if one uses them to solve those problems), while providing better accuracy and stability.

研究の動機と目的

• 時間依存バリア・オプションの Hull-White モデルにおける半閉形式価格を導出すること。ここで、基礎資産は平均回帰的 Ornstein-Uhlenbeck 確率過程に従う。
• 従来の方法が有限領域に限られていたのを補い、無限領域にまで拡張することにより、文献において未解決であった問題を解消すること。
• 特にバリア・オプションを含むレア・オプション型金利デリバティブの計算効率的かつ高精度な価格設定手法を提供すること。
• 解の解析的構造を活用して、オプション・ギャスの高速かつ高精度な計算を可能にすること。
• 提案手法が、従来の有限差分法と比較して、速度および安定性の両面で優れていることを示すこと。

提案手法

• 熱ポテンシャル法（HP）を用いて、無限領域 $ r \in [y(t), \infty) $ 上で定義される、オプション価格を記述する放物型 PDE を解く。ここで $ y(t) $ は時間依存のバリアである。
• 一般化積分変換法（GIT）を無限領域に拡張し、同一の PDE をボルテラ積分方程式の第1種に変換して解く。
• 解法は、線形ボルテラ積分方程式の第1種を数値的に解き、その後1次元積分を評価することでオプション価格を求める。
• オプション価格は $ C = \int K(x) \, dx $ と表現され、核関数 $ K(x) $ はボルテラ方程式の解および特殊関数に依存する。
• 高次数の求積則を用いて積分を離散化し、最小限の計算コストで高精度を達成する。
• オプション・ギャスは積分記号の下での微分を用いて計算され、事前に計算された密度項を再利用することで効率が向上する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間依存バリア・オプションが無限領域上に存在する Hull-White モデルにおいて、半閉形式の解を得ることは可能か？
• RQ2 長期間および高ストライクの状況において、熱ポテンシャル法と一般化積分変換法の精度および収束性はどのように比較されるか？
• RQ3 提案手法は、バリア・オプションの価格設定において、有限差分法と比較してより高い計算効率と安定性を達成できるか？
• RQ4 解の解析的構造により、ギャスの高速かつ高精度な計算がどの程度可能になるか？
• RQ5 時間依存係数を伴う熱方程式に対して、HP 法と GIT 法の収束特性はどのように異なるか？

主な発見

• 提案手法は、文献において未解決であった、無限領域 $ r \in [y(t), \infty) $ 上での Hull-White モデルにおけるバリア・オプションの価格設定問題を解消した。
• 特に高ストライクおよび長期の状況において、前向きおよび後向き有限差分スキームと比較して、より高い精度と安定性を達成した。
• 高ストライクおよび長期の状況では、解のうち第1積分が無視可能になり、第2積分に依存する完全に解析的な表現に簡略化される。
• オプション・ギャスは、価格計算と同時に、積分記号の下での微分を用いて、追加コストを最小限に抑えながら計算可能である。事前に計算された密度項を再利用できる。
• 計算複雑度は前向き有限差分法と同等またはそれ未満であり、著しく高い精度と安定性を達成している。