[論文レビュー] Semi-continuity of complex singularity exponents and Kähler-Einstein metrics on Fano orbifolds

Jean-Pierre Demailly, Janós Kollár|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、正則函数の複素特異性指数を導入し、その下半連続性を証明することで、複素幾何における特異性を研究する強力な解析的道具を提供する。この結果を用いて、ファノ軌道多様体上でのケーラー＝アインシュタイン計量の存在に関する簡略化された基準を確立し、商特異点をもつ3つの新しい剛性デル・ペッツォ表面の例を導出する。

ABSTRACT

We introduce complex singularity exponents of plurisubharmonic functions and prove a general semi-continuity result for them. This concept contains as a special case several similar concepts which have been considered e.g. by Arnold and Varchenko, mostly for the study of hypersurface singularities. The plurisubharmonic version is somehow based on a reduction to the algebraic case, but it also takes into account more quantitative informations of great interest for complex analysis and complex differential geometry. We give as an application a new derivation of criteria for the existence of Kähler-Einstein metrics on certain Fano orbifolds, following Nadel's original ideas (but with a drastic simplication in the technique, once the semi-continuity result is taken for granted). In this way, 3 new examples of rigid Kähler-Einstein Del Pezzo surfaces with quotient singularities are obtained.

研究の動機と目的

• 複素特異性指数を用いた、正則函数の特異性を測る定量的解析的枠組みを構築すること。
• この指数の一般化された下半連続性定理を確立し、代数幾何における既知の結果を解析的設定へと拡張すること。
• 下半連続性の結果を用いて、ファノ軌道多様体上でのケーラー＝アインシュタイン計量の存在に関する基準を簡略化し、再導出すること。
• 精密な解析的基準を用いて、商特異点をもつ剛性ケーラー＝アインシュタインデル・ペッツォ多様体の新しい例を構成すること。
• 重み付き射影空間における曲率と乗数イデアル層の解析を通じて、ケーラー＝アインシュタイン計量の有効かつ計算可能な条件を提供すること。

提案手法

• コン pact 集合 $ K $ の近傍で $ \exp(-2c\varphi) $ が $ L^1 $-可積分であるような $ c \geq 0 $ の上限として、複素特異性指数 $ c_K(\varphi) $ を定義する。
• 特異性の深刻さの双対的測度として、Arnold の多重度 $ \lambda_K(\varphi) = c_K(\varphi)^{-1} $ を導入する。
• $ L^2 $ 評価と乗数イデアル層を用いて、コン pact 部分集合における $ L^1 $-位相での $ c_K(\varphi) $ の下半連続性を証明する。
• 下半連続性の結果を応用し、ファノ軌道多様体上でのケーラー＝アインシュタイン計量の存在問題を、曲率の正性と乗数イデアル条件の確認に還元する。
• トーラス作用と退化技術を用いて、重み付き射影超曲面上の交点数を評価し、ケーラー＝アインシュタイン基準の有効な検証を可能にする。
• 重み $ a_i $、次数 $ d $、$ t = d+1 $ を含む比 $ \rho_a $ を計算し、$ \rho_a < 1 $ ならばケーラー＝アインシュタイン計量が存在することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則函数の複素特異性指数は、解析的および代数的特異性の両方の情報を捉える形で特徴付け可能であろうか？
• RQ2 正則函数の $ L^1 $-収束において、複素特異性指数は下半連続性を示すのか？また、$ L^2 $ 評価を用いてその証明が可能であろうか？
• RQ3 特異性指数の下半連続性は、ファノ軌道多様体上でのケーラー＝アインシュタイン計量の存在に関する基準を簡略化または再導出するために利用可能であろうか？
• RQ4 重み付き射影超曲面に対して、ケーラー＝アインシュタイン計量の存在を保証する有効な条件は何か、特にデル・ペッツォ多様体の場合に限っては？
• RQ5 商特異点をもつ新しい剛性デル・ペッツォ多様体で、ケーラー＝アインシュタイン計量をもつものはあるだろうか？また、それらはどのように構成可能であろうか？

主な発見

• コン pact 集合上での $ L^1 $-収束に関して、局所 $ L^1 $ 正則函数の空間上で複素特異性指数 $ c_K(\varphi) $ は下半連続である。
• 有効な下半連続性のバージョンにより、$ \psi \to \varphi $ が $ L^1 $ で成り立つとき、$ c < c_K(\varphi) $ に対して $ \exp(-2c\psi) \to \exp(-2c\varphi) $ が $ L^1 $ ノルムで成り立つ。
• ファノ軌道多様体上でのケーラー＝アインシュタイン計量の基準は、$ (-K_X) \cdot Z > \frac{2}{3}(-K_X)^2 $ かつ $ T_X \otimes \mathcal{O}_X(d - a_0 - a_2) $ がネフであることの確認に簡略化される。
• 3つの新しい剛性ケーラー＝アインシュタインデル・ペッツォ多様体の例が構成された：重み $ (11,49,69,128) $、$ d=256 $、$ \rho_a \simeq 0.875696 $ の例と、重み $ (13,35,81,128) $、$ d=256 $、$ \rho_a \simeq 0.955311 $ の例。
• 重み $ (9,15,17,20) $、$ d=60 $ の第3の例が得られ、接束制限の改善された解析によりケーラー＝アインシュタイン条件が確認された。
• 3つの例とも重み付き超曲面として剛性を示しており、非自明な変形は存在しない。これらは [BG00] を通じて非正則なササキアン＝アインシュタイン5次元多様体を導く。