[論文レビュー] Semi-derived Ringel-Hall algebras and Drinfeld double

Ming Lu, Liangang Peng|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、十分な射影的対象をもたない任意の遺伝的アーベル圏 A に対し、半導来 Ringel-Hall 代数 SDH(A) を導入する。Z/2-次数複体の Ringel-Hall 代数の商の局所化を構成することで、ねじれ半導来 Ringel-Hall 代数が A のねじれ拡張 Ringel-Hall 代数の Drinfeld 二重に同型であることが示された。主な結果として、A に傾き対象 T が存在するとき、SDH(A) は Bridgeland の mod(End(T)op) の Hall 代数に同型であり、異なる代数的設定における構成を統一する。

ABSTRACT

Let $\mathcal{A}$ be an arbitrary hereditary abelian category that may not have enough projective objects. For example, $\mathcal{A}$ can be the category of finite-dimensional representations of a quiver or the category of coherent sheaves on a smooth projective curve or on a weighted projective line. Inspired by the works of Bridgeland and Gorsky, we define the semi-derived Ringel-Hall algebra of $\mathcal{A}$, denoted by $\mathcal{S}\mathcal{D}\mathcal{H}_{\mathbb{Z}/2}(\mathcal{A})$, to be the localization of a quotient algebra of the Ringel-Hall algebra of the category of $\mathbb{Z}/2$-graded complexes over $\mathcal{A}$. We obtain the following three main results. The semi-derived Ringel-Hall algebra has a natural basis. A twisted version of the semi-derived Ringel-Hall algebra of $\mathcal{A}$ is isomorphic to the Drinfeld double of the twisted extended Ringel-Hall algebra $\mathcal{H}_{tw}^e(\mathcal{A})$ of $\mathcal{A}$. If $\mathcal{A}$ has a tilting object $T$, then its semi-derived Ringel-Hall algebra is isomorphic to the $\mathbb{Z}/2$-graded semi-derived Hall algebra $\mathcal{S}\mathcal{D}\mathcal{H}_{\mathbb{Z}/2}(\mathrm{add} T)$ of the exact category $\mathrm{add} T$ defined by Gorsky, and so is isomorphic to Bridgeland's Hall algebra of $\mod (\mathrm{End}(T)^{op})$.

研究の動機と目的

• 十分な射影的対象をもたない遺伝的アーベル圏への半導来 Hall 代数の構成を拡張すること。
• 射影的生成子をもたない圏への Bridgeland および Gorsky の半導来 Hall 代数の構成を一般化すること。
• ねじれ半導来 Ringel-Hall 代数と拡張 Ringel-Hall 代数の Drinfeld 二重の間の構造的同型を確立すること。
• 傾き対象 T が存在するとき、A の半導来 Hall 代数が Bridgeland の mod(End(T)op) の Hall 代数に同型であることを示すこと。
• Z/2-次数複体に基づく共通の枠組みを用いて、表現論における Hall 代数のさまざまな構成を統一すること。

提案手法

• A 上の Z/2-次数複体の Ringel-Hall 代数の商代数の局所化として、半導来 Ringel-Hall 代数 SDH(A) を定義する。
• Z/2-次数複体の圏 CZ/2(A) を用い、この設定における正則複体のホモロジー的性質を考察する。
• 量子トーラス TZ/2,ac(A) と AZ/2,ac(A)-bimodule MZ/2(A) を導入し、半導来 Hall 代数の代数的構造を定義する。
• SDH(A) のねじれ版を構成し、それがねじれ拡張 Ringel-Hall 代数 He_tw(A) の Drinfeld 二重に同型であることを証明する。
• 傾き理論を用いて、T が A の傾き対象であるとき、SDH(A) を add T の圏と関連付ける。
• 正則複体における局所化と、射影的加群の圏と add T の間の同型を用いて、最終的な同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分な射影的対象をもたない遺伝的アーベル圏に対して、半導来 Ringel-Hall 代数を定義できるか？
• RQ2 このような圏において、ねじれ半導来 Ringel-Hall 代数は拡張 Ringel-Hall 代数の Drinfeld 二重に同型か？
• RQ3 A に傾き対象 T が存在する場合、SDH(A) は Bridgeland の mod(End(T)op) の Hall 代数に同型か？
• RQ4 射影的生成子をもたない状況において、A の半導来 Hall 代数は Gorsky が定義した Z/2-次数半導来 Hall 代数とどのように関係するか？
• RQ5 A の拡張 Ringel-Hall 代数の Drinfeld 二重は、半導来 Hall 代数の構成として実現可能か？

主な発見

• 半導来 Ringel-Hall 代数 SDH(A) は、A 上の Z/2-次数複体の対象の同型類からなる自然な基底を持つ。
• A のねじれ半導来 Ringel-Hall 代数は、ねじれ拡張 Ringel-Hall 代数 He_tw(A) の Drinfeld 二重に同型である。
• A に傾き対象 T が存在するとき、SDH(A) は Gorsky が定義した add T の Z/2-次数半導来 Hall 代数に同型である。
• Λ = End(T)op が遺伝的代数であるならば、SDH(A) ≃ SDH(mod Λ) が成り立ち、かつ He_tw(A) の Drinfeld 二重は He_tw(mod Λ) の Drinfeld 二重に同型である。
• 重み付き射影直線の整数的層の圏に対して、ねじれ半導来 Hall 代数 SDHZ/2,tw(mod Λ) は Bridgeland の Hall 代数 DH(mod Λ) および He_tw(A) の Drinfeld 二重に同型である。
• A が十分な射影的対象をもたない場合でも、傾き同値を介して SDH(A) と Bridgeland の Hall 代数の同型が成立する。