[論文レビュー] Semi-global weak stabilization of bilinear Schrödinger equations

Karine Beauchard, Vahagn Nersesyan|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、制御リャプノフ関数に基づく明示的なフィードバック則を用いて、双線形シュレーディンガー方程式の基底状態への半グローバル弱安定化を確立する。PDEにラサール不変性原理を適応させることで、スペクトルおよび制御結合に関する一般的な非共鳴条件のもとで、$t \to \infty$ のとき、解の全軌道が $H^2$ で基底状態に弱収束することを証明する。

ABSTRACT

We consider a linear Schrödinger equation, on a bounded domain, with bilinear control, representing a quantum particle in an electric field (the control). Recently, Nersesyan proposed explicit feedback laws and proved the existence of a sequence of times $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ for which the values of the solution of the closed loop system converge weakly in $H^2$ to the ground state. Here, we prove the convergence of the whole solution, as $t ightarrow + \infty$. The proof relies on control Lyapunov functions and an adaptation of the LaSalle invariance principle to PDEs.

研究の動機と目的

• 有界領域における双線形シュレーディンガー方程式の基底状態を $H^2$ で漸近的に弱安定化すること。
• 時間列に 沿った弱収束しか示されていなかった先行研究を、$t \to \infty$ における完全な収束に拡張すること。
• $H^1_0 \cap H^2$ の単位球面上のほとんどすべての初期状態に対して収束を保証するフィードバック則を開発すること、ただし、目標集合 $\mathcal{C}$ に属するものを除く。
• フィードバック制御を伴う無限次元PDE系にラサール不変性原理を適応すること。
• 閉ループ系の $\omega$-極限集合が基底状態多様体 $\mathcal{C}$ と一致する条件を同定すること。

提案手法

• パrameter $\delta, \alpha > 0$ を用いて、$u(z) = -\delta \operatorname{Im}\left[ \langle \alpha A P_{1,V}(Qz), A P_{1,V}z \rangle - \langle Qz, e_{1,V} \rangle \langle e_{1,V}, z \rangle \right]$ という明示的フィードバック則を提案する。
• 基底状態からの距離を測るため、制御リャプノフ関数 $\mathcal{V}(z) = 1 - |\langle z, e_{1,V} \rangle|^2$ を用いる。
• 弱収束を $H^2$ で考える無限次元系に適応した、ラサール不変性原理の修正版を適用する。
• 有界領域におけるソボレフ空間のコンパクト埋め込みに依存し、非線形項における逐次的弱収束および極限の取り扱いを保証する。
• フィードバック制御入力 $u[\mathcal{U}_t(z)] \to 0$ がほとんど至る所の時間で成立することを示し、これにより極限状態が非制御ダイナミクスに対して不変であることを示す。
• 弱-$H^2$ での逐次コンパクトネスと解の一意性を用いて、任意の弱収束点が基底状態多様体 $\mathcal{C}$ に属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双線形シュレーディンガー方程式において、時間列に沿った弱収束を、$t \to \infty$ における完全な収束に高めることは可能か？
• RQ2 スペクトルおよび制御結合に関するどのような条件下で、ラサール不変性原理が $H^2$ における基底状態への安定化をもたらすか？
• RQ3 明示的フィードバックを用いて、部分列ではなく解の全軌道が基底状態に弱収束することを保証することは可能か？
• RQ4 非線形フィードバックを伴う無限次元PDE系に、ラサール不変性原理をどのように適応できるか？
• RQ5 ポテンシャル $V$、制御作用素 $Q$、および系のスペクトルに関して、$\omega$-極限集合が基底状態多様体 $\mathcal{C}$ と一致するための条件は何か？

主な発見

• 条件 0.1 のもとで、$\mathcal{C}$ に属さないすべての初期状態 $z_0 \in S \cap H^1_0 \cap H^2$ に対して、解 $\mathcal{U}_t(z_0)$ が $t \to \infty$ のとき $H^2$ で $\mathcal{C}$ に弱収束することを証明する。
• 収束は $H^2$ において半グローバルに成立し、$H^1_0 \cap H^2$ の単位球面上のすべての初期状態（$\mathcal{C}$ に属するのを除く）に対して成り立つ。
• フィードバック則により、制御入力 $u[\mathcal{U}_t(z)]$ がほとんど至る所の時間で 0 に近づくことが保証され、これが極限状態の不変性を示す上で鍵となる。
• 解軌道の $\omega$-極限集合が $\mathcal{C}$ に含まれることが示され、制御が極限で消えることから、状態はシュレーディンガー作用素の固有状態でなければならない。
• 閉ループダイナミクスで制御が 0 である状態で唯一不変となるのは $\mathcal{C}$ に属する状態であり、それらは基底状態 $e_{1,V}$ の定数倍であるという事実に依存している。
• すべての $\alpha \in (0, \alpha^*)$ に対して結果が成り立つが、測度 0 の離散的集合 $J \subset \mathbb{R}_+^*$ を除く。この集合は収束に影響しない。