[論文レビュー] Semi-implicit energy-preserving numerical schemes for stochastic wave equation via SAV approach

Jianbo Cui, Jialin Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般の非線形性および乗法的ノイズを伴う確率的波動方程式に対して、確率的スカラーアシスタント変数（SAV）アプローチを用いて、半陽的でエネルギー保存型の数値スキームを提案する。エネルギー関数を再定式化することで、高次元系に変換し、明示的解法が可能となる。また、修正されたエネルギー保存則が維持され、時間方向の強収束次数が1であり、空間方向の最適収束率を達成する。これは非線形確率的波動方程式に対して初めての結果である。

ABSTRACT

In this paper, we propose and analyze semi-implicit numerical schemes for the stochastic wave equation (SWE) with general nonlinearity and multiplicative noise. These numerical schemes, called stochastic scalar auxiliary variable (SAV) schemes, are constructed by transforming the considered SWE into a higher dimensional stochastic system with a stochastic SAV. We prove that they can be solved explicitly and preserve the modified energy evolution law and the regularity structure of the original system. These structure-preserving properties are the keys to overcoming the mutual effect of the noise and nonlinearity. By proving new regularity estimates of the introduced SAV, we establish the strong convergence rate of stochastic SAV schemes and the further fully-discrete schemes with the finite element method in spatial direction. To the best of our knowledge, this is the first result on the construction and strong convergence of semi-implicit energy-preserving schemes for nonlinear SWE.

研究の動機と目的

• 非線形係数が超線形であり、乗法的ノイズを伴う非線形確率的波動方程式に対して、明示的かつエネルギー保存型の数値スキームが不足している問題を解決すること。
• 古典的な明示スキームの発散問題と、従来のエネルギー保存型手法における陰的解法の負担を克服すること。
• 時間および空間の両方で、半陽的で構造保存型スキームの強収束率を確立すること。
• 確率的効果下でも平均エネルギー保存則を維持する、確率的SAV再定式化を構築すること。
• 収束解析を可能にするために、確率的補助変数の新たな正則性推定を導出すること。

提案手法

• エネルギー関数を分離するために、確率的波動方程式を確率的スカラーアシスタント変数（SAV）を用いて高次元系に変換する。
• SAV再定式化系に基づき、指数型ルンゲ＝クッタ法および標準ルンゲ＝クッタ法を応用した半陽的時間スキームを構築する。
• 空間方向に有限要素法を適用して、完全離散スキームを導出し、安定性と一貫性を保証する。
• 提案スキームが修正されたエネルギー保存則および元の系の正則性構造を保持することを証明する。
• ノイズと非線形性の相互作用を扱うために、確率的補助変数の新たな正則性推定を導出する。
• ホルダーの不等式、トレース推定、空間射影誤差バウンドを用いて、時間および空間方向の強収束率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形確率的波動方程式に対して、明示的解法が可能でかつエネルギー保存型の半陽的数値スキームを構築できるか？
• RQ2 確率的SAVアプローチは、ノイズと非線形性の相互作用をどのように処理し、エネルギー保存則の維持に寄与するか？
• RQ3 提案された確率的SAVスキームの時間および空間方向の強収束次数は何か？
• RQ4 確率的補助変数が収束解析を支えるのに十分な正則性を持つことが示せるか？
• RQ5 理論的に予測されるように、加法的ノイズの場合に線形エネルギー成長が保持されるか？

主な発見

• 提案された確率的SAVスキームは明示的解法が可能であり、修正されたエネルギー保存則を維持しており、古典的明示スキームの強い発散問題を克服する。
• 時間方向の強収束次数が1に達しており、時間誤差の対数プロットによる数値的確認がなされている。
• 空間収束率は最適であり、誤差が $ Ch^{eta_1} $ で有界である。ここで $ eta_1 o 2 $ は十分な正則性下で成立する。
• 加法的ノイズの場合、平均離散エネルギーは時間とともに線形に増加し、理論的予測と整合的である。
• 期待エネルギーの誤差は $ |err_0| + Ch^{eta_1} + C( au + h^{2eta/3}) $ で有界であり、時間および空間両方の収束が確認された。
• 本研究は、乗法的ノイズを伴う非線形確率的波動方程式に適用可能な、半陽的でエネルギー保存型スキームの最初の強収束結果を提供する。