[論文レビュー] Semi-Lagrangian schemes for linear and fully non-linear Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Kristian Debrabant, Espen R. Jakobsen|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、確率的制御およびファイナンスにおける線形および完全非線形ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を解くための、単調性を保証する新しいクラスの半ラグランジュ（SL）スキームを提案する。これらのスキームは単調な補間を用い、任意の退化する拡散係数に対しても弱い仮定の下で収束し、$L^∞$ 穩定性が保証され、最適なパrameter選択のもとで収束速度 $O(\Delta x^{1/10})$ を示す。

ABSTRACT

We consider the numerical solution of Hamilton-Jacobi-Bellman equations arising in stochastic control theory. We introduce a class of monotone approximation schemes relying on monotone interpolation. These schemes converge under very weak assumptions, including the case of arbitrary degenerate diffusions. Besides providing a unifying framework that includes several known first order accurate schemes, stability and convergence results are given, along with two different robust error estimates. Finally, the method is applied to a super-replication problem from finance.

研究の動機と目的

• 任意の退化する拡散係数を有するHJB方程式に対する単調な数値スキームを統合的に扱うフレームワークの構築。
• 非対角優勢でない拡散行列を含む最小限の仮定のもとでの完全非線形HJB方程式の収束性と安定性の確立。
• 粘性解の枠組みにおいて、1次精度スキームのための頑健な誤差推定と収束速度の導出。
• ギャンマ制約付きの数学的ファイナンスにおけるスーパーレプリケーション問題へのスキームの応用。
• 数値的実験を通じて収束性と精度の検証、非標準的な拡散構造を有する問題の検証。

提案手法

• 非構造的グリッド上での解の単調補間に基づく半ラグランジュスキームのクラスを提案。
• 微分作用素 $L^\alpha$ に対して、2次精度の一致する有限差分近似を用い、一貫性を満たすためのモーメント条件（Y1）を満たす。
• 時間刻み幅にパrameter $\theta$ を導入し、$\theta=1$ とすることで安定性を確保するとともに、非線形問題に対してホワイトフォードアルゴリズムの適用を可能にする。
• 局所補間スキーム（LISL）を導入し、$k = \sqrt{\Delta x}$ および $\Delta t = O(k^2)$ とすることで、切り捨て誤差と補間誤差のバランスを取る。
• 最大値原理と $L^\infty$-バインディングを用いて、比較原理のもとでの収束性を確立。
• 非線形系を解くためにホワイトフォードアルゴリズムを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形および完全非線形HJB方程式に共通する単調スキームの統合的フレームワークを構築できるか？
• RQ2 係数の正則性が最小限の仮定のもとで、半ラグランジュスキームの誤差境界をどのように導出できるか？
• RQ3 非対角優勢または退化する拡散行列を有する問題に対して、このスキームはどのように性能を発揮するか？
• RQ4 ファイナンスにおけるギャンマ制約付きスーパーレプリケーション問題に対し、収束性を達成できるか？
• RQ5 収束速度を最適化するには、時間刻み幅 $\Delta t$、空間グリッド $\Delta x$、補間パrameter $k$ の間にどのようなバランスをとるべきか？

主な発見

• 提案された半ラグランジュスキームは、$L^\infty$ 穏定性を有し、標準的仮定（A1）のもとで、任意の退化する拡散行列に対しても粘性解に収束する。
• 頑健な誤差推定が得られ、$\Delta t = O(k^2)$ かつ $k = O(\Delta x^{1/2})$ の下で、最適なパrameter選択のもとで収束速度 $O(\Delta x^{1/10})$ を示す。
• スーパーレプリケーションのテスト問題において、数値的収束次数は約1.15に達し、理論的期待と整合的である。
• ギャンマ制約付きの金融的スーパーレプリケーション問題において、既存の研究結果と一致する解を正確に再現した。
• 主な収束定理がテスト問題に直接適用できない（非標準的な形式のため）ものの、$L^\infty$ バインディングと最大値原理のおかげで、スキームは依然として有効である。
• パrameter $\theta=1$ および $k=\sqrt{\Delta x}$ を用いたLISLスキームは、ノイマンおよびディリクレ境界条件を有する非線形スーパーレプリケーション問題に対して、安定かつ高精度な解を得た。