[論文レビュー] Semi-linear Backward Stochastic Integral Partial Differential Equations driven by a Brownian motion and a Poisson point process

Shaokuan Chen, Shanjian Tang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動およびポアソン点過程の両方によって駆動される半線形後向き確率積分偏微分方程式（BSIPDE）の古典的解について、確率的表現を確立する。確率的フロー（ジャンプを伴うSDEによって生成）の逆と、ジャンプ付き後向きSDEの解を組み合わせることで、著者らはストキャスティック・ファインマン＝カースの公式を導出し、係数の適切な正則性および可積分性条件下で解の存在と一意性を証明する。

ABSTRACT

In this paper we investigate classical solution of a semi-linear system of backward stochastic integral partial differential equations driven by a Brownian motion and a Poisson point process. By proving an Itô-Wentzell formula for jump diffusions as well as an abstract result of stochastic evolution equations, we obtain the stochastic integral partial differential equation for the inverse of the stochastic flow generated by a stochastic differential equation driven by a Brownian motion and a Poisson point process. By composing the random field generated by the solution of a backward stochastic differential equation with the inverse of the stochastic flow, we construct the classical solution of the system of backward stochastic integral partial differential equations. As a result, we establish a stochastic Feynman-Kac formula.

研究の動機と目的

• ブラウン運動およびポアソン点過程によって駆動される半線形後向き確率積分PDEの系の古典的解の存在と一意性を確立すること。
• 前向きおよび後向きSDE（ジャンプ付き）を用いた解の確率的解釈を、確率的フローの逆と関連付けること。
• 拡散成分とジャンプ成分を含むジャンプ拡散の状況にまで、ストキャスティック・ファインマン＝カースの公式を拡張すること。
• 拡散成分のみを含む場合に限らない、ジャンプ測度および補正付きポアソン確率測度を組み込んだ、BSPDEに対する確率的アプローチの一般化を行うこと。

提案手法

• ブラウン運動とポアソンノイズの両方を含む状況下での確率的フローのダイナミクスを扱うために、ジャンプ付き拡散に対する伊藤＝ヴェントツェルの公式を導出する。
• ブラウン運動およびポアソン点過程によって駆動されるSDEの逆確率的フローを構築し、適切な条件下でその正則性を保証する。
• 後向きSDEの解と逆フローを合成することで、BSIPDE系の古典的解を生成する。
• 解の成分の正則性と適応性を保証するために、抽象的な確率的発展方程式の結果を適用する。
• 合成過程のSPDEダイナミクスを導出するために伊藤＝ヴェントツェルの公式を用い、それが目的のBSIPDEを満たすことを検証する。
• 古典的解の十分な空間的正則性を保証するために、条件 (C5)_{k+1} および (C6) を k > 2 + n/2 として課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動およびポアソン点過程の両方によって駆動される半線形BSIPDEに対して、古典的解を構成できるか？
• RQ2 このようなBSIPDEの解は、前向きおよび後向きSDE（ジャンプ付き）を用いてどのように確率的に表現できるか？
• RQ3 ジャンプ拡散およびポアソン確率測度が存在する状況下でも、ストキャスティック・ファインマン＝カースの公式は成立するか？
• RQ4 解の古典的解の存在と一意性を保証するための、係数の正則性および可積分性条件は何か？

主な発見

• BSIPDEの解 (p, q, r) は、p(t,x) = Y_t(X_t^{-1}(x))、q(t,x) = Z_t(X_{t-}^{-1}(x)) - ∂p(t-,x)σ(t,x)、および r(t,e,x) = p(t-,ϕ_{t,e}^{-1}(x)) - p(t-,x) + U_t(e, X_{t-}^{-1}(ϕ_{t,e}^{-1}(x))) として構成される。
• 条件 (C5)_{k+1} および (C6) を k > 2 + n/2 として課すと、構成された三重組 (p,q,r) はBSIPDE (1.1) の古典的解である。
• 解は適応過程の意味でBSIPDEを満たし、伊藤＝ヴェントツェルの公式により、ドリフト項、拡散項、ジャンプ項が適切に扱われている。
• 古典的解の一意性は、任意の古典的解が逆フローおよび後向きSDEの成分を通じて構成された解と一致することを示すことによって確立される。
• 本稿では、ジャンプ付き前向き・後向きSDEの解と関連づけた、BSIPDEの解に対するストキャスティック・ファインマン＝カースの公式を証明する。