[論文レビュー] Semi-positivity from Higgs bundles

Yohan Brunebarbe|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、滑らかな準射影的複素多様体上のフィルター付き正則ミスマニックHiggs束およびタウム調和束に対して、一般化された半正定性定理を確立する。ポリスタビリティおよびパラボリックチャーン類の消滅の下で、Higgs作用素の核内の部分層の双対が弱正定であることを証明する。この結果は、Fujita-Kawamata-Zuoの半正定性定理を拡張し、無限モノドロミーをもつ半単純局所系に適用可能である。

ABSTRACT

We prove a generalization of the Fujita-Kawamata-Zuo semi-positivity Theorem for filtered regular meromorphic Higgs bundles and tame harmonic bundles. Our approach gives a new proof in the cases already considered by these authors. We give also an application to the geometry of smooth quasi-projective complex varieties admitting a semisimple complex local system with infinite monodromy.

研究の動機と目的

• フィルター付き正則ミスマニックHiggs束およびタウム調和束に対して、Fujita-Kawamata-Zuoの半正定性定理を一般化すること。
• 調和束の技法を用いて、既知の状況における半正定性の新たな証明を与えること。
• 無限モノドロミーをもつ半単純局所系をもつ滑らかな準射影的複素多様体の幾何を研究すること。
• Higgs作用素の核内の部分層の双対が弱正定またはネフであるような条件を確立すること。
• sheaf dualの半正定性を、調和束上の特異ヘルミート計量の曲率性質と関連付けること。

提案手法

• Simpsonの対応による、タウム調和束とフィルター付き正則ミスマニックHiggs束の間の対応関係を用いる。
• 部分層の多項式成長より小さい成長を示すセクションに、半負の曲率を持つ特異ヘルミート計量を構成する。
• 制限された基本集合の理論とLelong数を用いて、双対層の正定性を分析する。
• 準射影的多様体上のタウム調和束が、非負の留数固有値をもつ複素極小分岐Hodge構造から生じることを活用する。
• 単純な虚数調和束で、離散的かつ無限モノドロミーをもつ場合に、Higgs写像の単射性を証明する。
• 写像に沿った調和束の引き戻しを用いて、タウム性および純粋性を保ち、局所的曲線上の解析への還元を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Higgs作用素の核内の部分層の双対が弱正定となる条件は何か？
• RQ2 Higgs束の半正定性は、誘導された特異ヘルミート計量の曲率とどのように関係するか？
• RQ3 無限モノドロミーをもつ半単純局所系をもつ滑らかな準射影的多様体にどのような幾何的制約が生じるか？
• RQ4 純虚数調和束のHiggs作用素が何時消えるのか、そしてそれはモノドロミーにどのような意味を持つのか？
• RQ5 部分層の特異点および無限遠の除数を用いて、双対層の制限された基本集合をどのように制御できるか？

主な発見

• フィルター付き正則ミスマニックHiggs束の基本ベクトル束の核内の任意の部分層の双対は、μ_L-ポリスタビリティおよびパラボリックチャーン類の消滅の下で弱正定である。
• パラボリックフィルトレーションが自明な場合、このような部分層の双対はネフであり、より強い正定性結果が得られる。
• 準射影的多様体上のタウム調和束において、調和計量下での部分層の多項式成長より小さい成長を示すセクションは、 torsion-free な coherent sheaf である。
• 部分層がHiggs作用素の核に含まれる場合、その双対に誘導された計量は、半負の曲率を持つ特異ヘルミート計量に拡張できる。
• 非負の留数固有値をもつlog C-PVHSの場合、核部分層に誘導された計量は、半負の曲率を持つ特異ヘルミート計量に一意に拡張できる。
• 離散的かつ無限モノドロミーをもつ純虚数タウム調和束の場合、接接束から自己準同型束へのHiggs写像は一般に単射であり、Higgs作用素が消えないことを示唆する。