[論文レビュー] Semi-positivity of logarithmic cotangent bundle and Shafarevich-Viehweg's conjecture, after Campana, Paun, Taji...

Benoît Claudon|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、log canonical 対に対して、log canonical bundle が pseudo-effective であるという仮定の下で、対数接ベクトル束の半正定性を確立し、Miyaoka の一般半正定性定理を orbifold setting に拡張する。主な貢献は、foliation の積分可能性の新しい基準と、正定性定理の orbifold 一般化を用いて、Viehweg のモジュライ空間の双曲的性に関する予想を解決することにある。

ABSTRACT

Proven by A. Parshin and S. Arakelov in the early 70's, Shafaverich hyperbolicity conjecture states that a family of curves of genus $g\ge2$ parametrized by a non hyperbolic curve (\emph{i.e.} isomorphic to $\mathbb{P}^1$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{C}^*$ or an elliptic curve) has to be isotrivial : the moduli of smooth fibres are constant. In higher dimensions, Viehweg's works on moduli of canonically polarized manifolds led him to generalize this statement in the following way: if a family of canonically polarized manifolds (parametrized by a quasi-projective base) has maximal variation, the base is then of log-general type. It can be thought as an algebraic hyperbolicity property which is expected to hold for the moduli space.Adapting results due to Y. Miyoaka on generic semi-positivity of cotangent bundle to the framework of pairs, F. Campana and M. Păun recently obtained a positive answer to Viehweg's conjecture. We will also take the opportunity of this talk to present the classification of orbifolds as developed in Campana's works. This setting is moreover the right one to state the optimal version of Viehweg's conjecture proven by B. Taji

研究の動機と目的

• 接ベクトル束の Miyaoka の一般半正定性定理を対数的および orbifold setting に拡張すること。
• 移動的クラスに関する最小傾きの正定性を用いた foliation の代数的積分可能性の基準を確立すること。
• orbifold 正定性を用いて、canonically polarized 多様体のモジュライ空間の双曲的性に関する Viehweg の予想を証明すること。
• Campana, Pâun, および Taji の結果を正規交叉除法を持つコンパクト化へ一般化すること。
• orbifold 技法を用いて、非等変な族の底空間に関する Viehweg-Zuo 定理の新たな証明を提供すること。

提案手法

• 正規交叉を持つ係数が [0,1] 内にある Q-除法子 Δ によって定義される orbifold 構造を用い、X の分岐被覆上での orbifold 接ベクトル束を定義する。
• orbifold 版の Miyaoka の正定性結果を適用し、orbifold 接ベクトル束の m 乗テンソル積の任意の商の行列式が pseudo-effective であることを示す。
• foliation の代数的積分可能性のための新しい基準を導入する：移動的クラスに関する foliation の最小傾きが正であれば、葉はその閉包において Zarsiki 開であり、有理的接続された部分多様体である。
• 背理法を用いる：log canonical bundle が pseudo-effective であるが、多様体が uniruled でないならば、正の傾きの foliation が存在しなければならず、これは K_X + Δ の pseudo-effectivity に矛盾する。
• canonically polarized 多様体の族の相対的対数接ベクトル束に orbifold 正定性結果を適用し、底多様体が maximal Kodaira 次元を持つことを導く。
• 移動的曲線と半安定層の理論を用いて、部分束の傾きを解析し、最大の正の傾きを持つ foliation を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対 (X, Δ) の対数接ベクトル束がどのような条件下で半正定性を示すか？
• RQ2 移動的クラスに関する最小傾きの正定性によって、foliation の積分可能性を特徴づけられるか？
• RQ3 K_X + Δ が pseudo-effective であるならば、canonically polarized 多様体の族の底空間は maximal Kodaira 次元を持つとみなせるか？
• RQ4 Miyaoka の一般半正定性定理は、どのように orbifold setting に一般化できるか？
• RQ5 orbifold 接ベクトル束は、モジュライの双曲的性に関する Viehweg の予想の証明において、どのような役割を果たすか？

主な発見

• K_X + Δ が pseudo-effective であるような対 (X, Δ) の orbifold 接ベクトル束は、その m 乗テンソル積の任意の商の行列式が pseudo-effective であるという意味で半正定性を持つ。
• 移動的クラスに関する最小傾きが正である smooth な射影多様体上の foliation は代数的積分可能であり、その葉は有理的接続された部分多様体である。
• Viehweg が提示した、canonically polarized 多様体のモジュライ空間の双曲的性に関する予想は解決された：族が最大変動のとき、K_Y + D は maximal Kodaira 次元を持つ。
• 証明により、正規交叉コンパクト化を持つ quasi-projective 底付きの canonically polarized 多様体の族の底は、変動が最大のとき、log general type であることが示された。
• Miyaoka–Campana–Pâun 正定性定理の orbifold 一般化は、モジュライ空間の幾何学を研究するための新たな道具を提供する。
• この結果により、Campana のモジュライスタックの双曲的性に関する予想は、正規交叉境界除法子を持つ最大変動族の状況にまで拡張された。