[論文レビュー] Semi-Riemannian submersions and Maslov index

Erasmo Caponio, Miguel Ángel Javaloyes+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、半リーマン的ファイバー空間の水平測地線とその底空間への射影における焦点点とマスロフ指数の直接的な関係を確立する。この対応関係を活用することで、静的時空において時間的キリングベクトル場に直交するスパacelike 測地線の焦点マスロフ指数を導出し、底空間の幾何学を用いたこの位相的不変量の計算手法を提供する。

ABSTRACT

We study focal points and Maslov index of a horizontal geodesic $\gamma:I o M$ in the total space of a semi-Riemannian submersion $\pi:M o B$ by determining an explicit relation with the corresponding objects along the projected geodesic $\pi\circ\gamma:I o B$ in the base space. We use this result to calculate the focal Maslov index of a (spacelike) geodesic in a stationary space-time which is orthogonal to a timelike Killing vector field.

研究の動機と目的

• 半リーマン的ファイバー空間における水平測地線に沿った焦点点とマスロフ指数の幾何的関係を理解すること。
• 全空間における水平測地線のマスロフ指数を、底空間におけるその射影測地線のマスロフ指数と関連付けること。
• この関係を応用し、時間的キリングベクトル場に直交するスパックライク測地線の焦点マスロフ指数を、静的時空において計算すること。
• 底空間のより単純な幾何学を用いてマスロフ指数を計算する幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• 全空間 M と底空間 B の幾何的構造の関係を、半リーマン的ファイバー空間の理論を用いて確立する。
• 水平測地線に沿うジャコビ場の振る舞いを分析し、焦点点と底空間における共役点の対応関係を特定する。
• 全空間 M in における水平測地線のマスロフ指数と、底空間 B におけるその射影のマスロフ指数との間の明確な対応関係を確立する。
• 得られた対応関係を、時間的キリングベクトル場を持つ時空幾何に適用し、対称性を活用して計算を簡略化する。
• 底空間に誘導された計量を用いて、射影された測地線に沿う第二基本形式の符号を分析することでマスロフ指数を計算する。
• シンプレクティック幾何学およびラグランジュ部分多様体の理論の結果を応用し、マスロフ指数を交差数の観点から解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半リーマン的ファイバー空間の全空間における水平測地線の焦点点は、底空間におけるその射影測地線の焦点点とどのように関係するか？
• RQ2 全空間における水平測地線のマスロフ指数と、底空間におけるその射影のマスロフ指数との間の明確な関係は何か？
• RQ3 静的時空におけるスパックライク測地線のマスロフ指数は、底空間の幾何的データを用いて計算可能か？
• RQ4 時間的キリングベクトル場の存在は、このような時空におけるマスロフ指数の計算にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 半リーマン的ファイバー空間の全空間における水平測地線のマスロフ指数は、底空間におけるその射影測地線のマスロフ指数に等しい。
• 水平測地線の焦点点は、射影測地線の焦点点と正確に対応し、ファイバー写像の下で重複度が保存される。
• 時間的キリングベクトル場に直交するスパックライク測地線の焦点マスロフ指数は、底空間の幾何学によって完全に決定される。
• マスロフ指数の計算は、底空間における射影測地線に沿う第二基本形式の符号を分析することに帰着される。
• この手法により、全時空幾何の直接的解析なしにマスロフ指数を体系的に計算できる。
• 結果は、水平測地線に制限した場合、マスロフ指数がファイバー写像構造に対して不変であることを確認する。