[論文レビュー] Semi-robust Local Projection Stabilization for Non Inf-sup Stable Discretizations of the Evolutionary Navier-Stokes Equations

Javier de Frutos, Bosco Garcı́a-Archilla+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、非infsup安定な有限要素離散化に対する非定常ナビエ＝ストークス方程式のための半頑健な局所射影安定化（LPS）法を導入する。速度誤差の収束率が $ l+1/2 $ であり、粘性に依存しない $ L^∞(0,T;L^2(Ω)) $ 範囲で最適であることを証明し、圧力勾配安定化による対流項の最適なバインディングを示す。

ABSTRACT

This paper studies non inf-sup stable finite element approximations to the evolutionary Navier--Stokes equations. Several local projection stabilization (LPS) methods corresponding to different stabilization terms are analyzed, thereby separately studying the effects of the different stabilization terms. Error estimates are derived in which the constants in the error bounds are independent of inverse powers of the viscosity. For one of the methods, using velocity and pressure finite elements of degree $l$, it will be proved that the velocity error in $L^\infty(0,T;L^2(\Omega))$ decays with rate $l+1/2$ in the case that $ u\le h$, with $ u$ being the dimensionless viscosity and $h$ the mesh width. In the analysis of another method, it was observed that the convective term can be bounded in an optimal way with the LPS stabilization of the pressure gradient. Numerical studies confirm the analytical results.

研究の動機と目的

• 非定常ナビエ＝ストークス方程式の非infsup安定な有限要素法における不安定性問題に対処すること。
• 異なる局所射影安定化（LPS）項の個別的な数値安定性および収束への影響を分析すること。
• 逆粘性の累乗に依存しない定数を有する誤差推定を導出することにより、低粘性領域における頑健性を保証すること。
• $ l $次元の有限要素を用いた $ L^∞(0,T;L^2) $ 範囲における速度誤差の最適収束率を確立すること。
• LPS安定化が圧力勾配安定化を通じて対流項を最適にバインド可能であることを示すこと。

提案手法

• 異なる安定化項を用いた局所射影安定化（LPS）を適用し、それらの寄与を分離・分析可能にする。
• 速度および圧力の有限要素を $ l $ 次に設定し、infsup条件を必要としないように安定化項を調整する。
• LPS項を組み込んだ変分式を用い、圧力勾配および対流項を安定化する。
• 速度の $ L^∞(0,T;L^2(Ω)) $ 範囲における誤差推定を導出し、$ u \leq h $ の条件下で収束率 $ l+1/2 $ を示す。ここで $ u $ は無次元粘性、$ h $ はメッシュ幅である。
• LPSによる圧力勾配の安定化を用いて、対流項のバインディングを分析し、最適制御を達成する。
• 理論的結果を数値的検証し、予測された収束率および粘性に依存しない安定性行動を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所射影安定化は、非infsup安定な非定常ナビエ＝ストークス方程式離散化において、粘性に依存しない誤差バインディングを達成するために用いられるか。
• RQ2 $ l $ 次有限要素を用いた半頑健LPS安定化下で、$ L^∞(0,T;L^2) $ 範囲における速度誤差の最適収束率は何か。
• RQ3 LPSによる圧力勾配の安定化は、最適性を保ちつつ対流項のバインディングにどのように寄与するか。
• RQ4 異なるLPS安定化項の影響は、安定性および収束性を維持したまま独立して分析可能か。
• RQ5 数値実験は、理論的収束率および粘性に依存しない頑健性を確認できるか。

主な発見

• 速度誤差は $ L^∞(0,T;L^2(Ω)) $ 範囲で収束率 $ l+1/2 $ を示し、これは与えられた有限要素次数 $ l $ に対して最適である。条件 $ u \leq h $ を満たす。
• 誤差バインディングは逆粘性の累乗に依存せず、低粘性領域における頑健性を保証する。
• LPSによる圧力勾配の安定化が、解析において対流項の最適なバインディングを可能にする。
• infsup条件を満たさない場合でも、速度の最適収束が達成される。
• 数値的検証により、理論的収束率および粘性の変動にわたるスケームの安定性が確認された。
• 安定化項の個別分析により、全体の安定性および収束行動への寄与が明確に分離された。