[論文レビュー] Semi-simple $o(N)$-extended super-Poincaré algebra

D. Soroka, Vyacheslav Soroka|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、4次元におけるローレンツ代数 $so(3,1)$ と正交シミプティック超アインシュタイン代数 $osp(N,4)$ の直和として、半単純で $o(N)$ 拡張された超ポincare代数を提案する。質量、スピン、内部対称性の量子数を区別することで、レッジ軌跡概念を一般化する。この構成により、非縮退のカシミール演算子が得られ、既約表現の統一的枠組みを提供し、$N=10$ 超重力理論と $SO(10)$ GUT モデルの統一可能性を示唆する。

ABSTRACT

A semi-simple tensor extension of the Poincaré algebra is given for the arbitrary dimensions $D$. It is illustrated that this extension is a direct sum of the $D$-dimensional Lorentz algebra $so(D-1,1)$ and $D$-dimensional anti-de Sitter (AdS) algebra $so(D-1,2)$. A supersymmetric also semi-simple $o(N)$ generalization of this extension is introduced in the D=4 dimensions. It is established that this generalization is a direct sum of the 4-dimensional Lorentz algebra $so(3,1)$ and orthosymplectic algebra $osp(N,4)$ (super-AdS algebra). Quadratic Casimir operators for the generalization are constructed. The form of these operators indicates that the components of an irreducible representation for this generalization are distinguished by the mass, angular momentum and quantum numbers corresponding to the internal symmetry, tensor and supersymmetry generators. That generalizes the Regge trajectory idea. The probable unification of the N=10 supergravity with the SO(10) GUT model is discussed. This paper is dedicated to the memory of Anna Yakovlevna Gelyukh.

研究の動機と目的

• Cartan-Killing計量の退化を回避する $D$ 次元ポincare代数の半単純テンソル拡張を構成すること。
• 4次元における $o(N)$ 拡張超ポincare代数へのこの拡張を超対称的に一般化すること。
• 質量、角運動量、内部対称性の量子数によって既約表現の成分を区別する二次カシミール演算子を導出すること。
• ゲージ理論的構成を通じて $N=10$ 超重力理論と $SO(10)$ GUT モデルの統一可能性を検討すること。

提案手法

• 第二階テンソル生成子 $Z_{ab}$ を導入することで、$D$ 次元ポincare代数の半単純テンソル拡張を提案し、$so(D-1,1)$ と $so(D-1,2)$ 代数の直和を導く。
• $D=4$ の場合、超移動生成子 $Q_{\alpha i}$ を追加することで、$o(N)$ 拡張超対称一般化を導入し、$so(3,1)$ と $osp(N,4)$ の直和を形成する。
• 二次カシミール演算子を構成し、$C_1 = P^aP_a + cZ^{ab}M_{ba} + 2a^2M^{ab}M_{ab}$ などの式を含む。これらは質量とス pin 量子数を一般化する。
• 超対称性下での修正カシミール演算子 $\tilde{C}_1 = 2a^2(N_{ab}N^{ab} - L_{AB}L^{AB}) - \frac{c}{4a^2d}Q_\kappa(C^{-1})^{\kappa\lambda}Q_\lambda + I^{ij}I_{ij}$ を導出し、$osp(N,4)$ において構造を保存する。
• 逆 Cartan-Killing計量 $G^{KL}$ を用いて、$X_K G^{KL} X_L$ の形でカシミール不変量を定義し、半単純代数における非退化性を保証する。
• $N=10$ の統一を示唆するゲージ場形式を提案し、場強度 $F_{\mu\nu}^K$ とラグランジアン $L = \frac{1}{64a^2} G_{KL} F_{\mu\nu}^L F_{\rho\lambda}^K g^{\mu\rho}g^{\nu\lambda}e$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポincare代数の半単純テンソル拡張は、Cartan-Killing計量の退化を回避できるか？
• RQ2 $D=4$ における $o(N)$ 拡張超ポincare代数は、$so(3,1)$ と $osp(N,4)$ の直和としてどのように定式化できるか？
• RQ3 この拡張代数の二次カシミール演算子は何か？ そして、それらは既約表現をどのように分類するか？
• RQ4 この代数的構造は、ゲージ理論的ラグランジアンを通じて $N=10$ 超重力理論と $SO(10)$ GUT モデルの統一を可能にするか？
• RQ5 半単純リーシューペル代数における非退化カシミール演算子を定義する際、逆計量 $G^{KL}$ の役割は何か？

主な発見

• $D$ 次元ポincare代数の半単純テンソル拡張は、$so(D-1,1)$ と $so(D-1,2)$ の直和として実現され、Cartan-Killing計量の非退化性が保証される。
• $D=4$ の場合、$o(N)$ 拡張超ポincare代数は、$so(3,1)$ と $osp(N,4)$ の直和として構成され、後者は超反ドシントロン対称性を符号化する。
• 二次カシミール演算子 $C_1 = P^aP_a + cZ^{ab}M_{ba} + 2a^2M^{ab}M_{ab}$ は質量演算子を一般化し、質量とスピンによって状態を区別する。
• 超対称性下では、カシミール演算子 $\tilde{C}_1$ は超電荷 $Q_{\kappa}$、内部 $o(N)$ 対称性 $I^{ij}$、ローレンツ生成子からの寄与を含み、全量子数分類を示唆する。
• $N=10$ の場合、場強度ラグランジアン $L = \frac{1}{64a^2} G_{KL} F_{\mu\nu}^L F_{\rho\lambda}^K g^{\mu\rho}g^{\nu\lambda}e$ は、$N=10$ 超重力理論と $SO(10)$ GUT モデルの統一可能性を示唆する。
• 半単純リーシューペル代数において、逆計量 $G^{KL}$ は存在し、非退化である。これにより、$X_K G^{KL} X_L$ の形で非退化カシミール演算子を構成できる。