[論文レビュー] Semi-uniform domains and the $A_{\infty}$ property for harmonic measure

Jonas Azzam|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2017

Analytic and geometric function theory参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、調和測度が$A_{\infty}$性質を満たす領域の幾何的特徴付けを確立し、Ahlfors-David正則かつ一様リーマン的境界をもつ領域において、半均一性と一様リーマン的可解性が$A_{\infty}$性質の必要十分条件であることを示している。著者らは、古典的な調和測度の推定を半均一領域へと拡張し、このような領域が一様リーマン的境界をもてば、大きな弦-アーク部分領域の断片を含むが、Hrycakの反例によりリーマン的部分領域を含まないことを示している。

ABSTRACT

We study the properties of harmonic measure in semi-uniform domains. Aikawa and Hirata showed in \cite{AH08} that, for John domains satisfying the capacity density condition (CDC), the doubling property for harmonic measure is equivalent to the domain being semi-uniform. Our first result removes the John condition by showing that any domain satisfying the CDC whose harmonic measure is doubling is semi-uniform. Next, we develop a substitute for some classical estimates on harmonic measure in nontangentially accessible domains that works in semi-uniform domains. We also show that semi-uniform domains with uniformly rectifiable boundary have big pieces of chord-arc subdomains. We cannot hope for big pieces of Lipschitz subdomains (as was shown for chord-arc domains by David and Jerison \cite{DJ90}) due to an example of Hrycak, which we review in the appendix. Finally, we combine these tools to study the $A_{\infty}$-property of harmonic measure. For a domain with Ahlfors-David regular boundary, it was shown by Hofmann and Martell that the $A_{\infty}$ property of harmonic measure implies uniform rectifiability of the boundary \cite{HM15,HLMN17} . Since $A_{\infty}$-weights are doubling, this also implies the domain is semi-uniform. Our final result shows that these two properties, semi-uniformity and uniformly rectifiable boundary, also imply the $A_{\infty}$ property for harmonic measure, thus classifying geometrically all domains for which this holds.

研究の動機と目的

• 調和測度の$A_{\notinfty}$性質を、領域構造の観点から幾何的に特徴づける。
• 従来の結果における、倍加調和測度と半均一性との間の同値関係に含まれるJohn条件を除去する。
• 非接続的近傍可能（NTA）領域における古典的調和測度推定を、半均一領域に類似した形で発展させる。
• 半均一領域が一様リーマン的境界をもてば、大きな弦-アーク部分領域の断片を含むことを示す。
• 半均一性と一様リーマン的境界が調和測度の$A_{\notinfty}$性質を示すことを示す。

提案手法

• 容量密度条件（CDC）を満たし、調和測度が倍加する任意の領域が半均一であることを証明し、John条件の必要性を排除した。
• 非接続的近傍可能領域における古典的調和測度推定の代わりに、半均一領域において有効な推定を構築した。
• 一様リーマン的可解性の理論とリプシッツ同相埋め込みを用いて、半均一領域における一様リーマン的境界をもつ領域内の弦-アーク部分領域を分析した。
• Hrycakの反例を用いて、このような領域に大きなリーマン的部分領域の断片が期待できないことを示した。
• 半均一性、一様リーマン的可解性、および$A_{\notinfty}$重み理論を組み合わせ、主要な特徴付け結果を証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ahlfors-David正則境界をもつ領域において、調和測度の$A_{\notinfty}$性質は、半均一性と一様リーマン的境界と同値であるか？
• RQ2 倍加調和測度と半均一性との間の同値関係から、John条件を除去できるか？
• RQ3 一様リーマン的境界をもつ半均一領域は、大きな弦-アーク部分領域の断片を含むか？
• RQ4 一様リーマン的境界をもつ半均一領域において、大きなリーマン的部分領域の断片が期待できるか？
• RQ5 Ahlfors-David正則境界をもつ領域における調和測度の$A_{\notinfty}$性質を満たす幾何的条件は何か？

主な発見

• Ahlfors-David正則境界をもつ領域において、調和測度の$A_{\notinfty}$性質が成り立つのは、領域が半均一であり、かつ境界が一様リーマン的可解であるとき、かつそのときに限り成り立つ。
• 容量密度条件を満たす領域において、半均一性は、John条件を仮定しなくても、倍加調和測度と同値である。
• 一様リーマン的境界をもつ半均一領域は、大きな弦-アーク部分領域の断片を含む。
• Hrycakの反例により、大きなリーマン的部分領域の断片は期待できない。
• 任意の$L>0$および$\varepsilon>0$に対して、境界が任意の定数$L$のリーマン的グラフと交わる部分集合の測度が高々$\varepsilon$であるような、ADRおよびUR境界をもつ半均一領域を構成した。
• $A_{\notinfty}$性質は、半均一性および一様リーマン的可解性を示し、逆に、これらの幾何的条件が$A_{\notinfty}$性質を示す。これにより、幾何的分類が完全に完成した。