[論文レビュー] Semi-wave, traveling wave and spreading speed for monostable cooperative systems with nonlocal diffusion and free boundaries

Yihong Du, Wenjie Ni|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 42被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非局所拡散および自由境界を伴う単調的で協同的な系における広がり速度を決定する体系的な枠組みを確立し、カーネルの減衰率に応じて広がり速度が有限または無限（加速的）であることを証明する。半波および移動波の鋭い推定を導出し、カーネルが $|x|^{-\beta}$ のように減衰する場合、広がり速度が正確な漸近的挙動を示すことを示し、非局所拡散を伴う多種生物系におけるこのような結果は初めてである。

ABSTRACT

We consider a class of cooperative reaction-diffusion systems with free boundaries in one space dimension, where the diffusion terms are nonlocal, given by integral operators involving suitable kernel functions, and they are allowed not to appear in some of the equations in the system. The problem is monostable in nature, resembling the well known Fisher-KPP equation. Such a system covers various models arising from mathematical biology, with the Fisher-KPP equation as the simplest special case, where a "spreading-vanishing" dichotomy is known to govern the long time dynamical behaviour. The question of spreading speed is widely open for such systems except for the scalar case. In this paper, we develop a systematic approach to determine the spreading profile of the system, and obtain threshold conditions on the kernel functions which decide exactly when the spreading has finite speed, or infinite speed (accelerated spreading). This relies on a rather complete understanding of both the associated semi-waves and traveling waves. When the spreading speed is finite, we show that the speed is determined by a particular semi-wave, and obtain sharp estimates of the semi-wave profile and the spreading speed. For kernel functions that behave like $|x|^{-γ}$ near infinity, we are able to obtain better estimates of the spreading speed for both the finite speed case, and the infinite speed case, which appear to be the first for this kind of free boundary problems, even for the special Fisher-KPP equation.

研究の動機と目的

• 非局所拡散および自由境界を伴う協同的反応拡散系における広がり速度を特定すること。
• 広がり速度が有限または無限（加速的）であるかどうかを決定するカーネル関数の閾値条件を同定すること。
• 有限および加速的広がりの両状態における半波プロファイルおよび広がり速度の鋭い推定を確立すること。
• スカラー型のFisher-KPP方程式に既知の結果を非局所拡散を伴う多種生物系へ拡張すること。
• 特にべき則に従って減衰するカーネルに対して、このような系における広がり速度の定量的推定を初めて提供すること。

提案手法

• カーネル関数 $J_i(x)$ を用いた積分作用素で定義される非局所拡散項を伴う反応拡散方程式系を分析する。
• 境界における人口のフラックスに従って時間発展する領域 $ (g(t), h(t)) $ を持つ自由境界問題を導入する。
• 与えられた速度を持つ半波解の存在および一意性を調べるために、摂動された半波問題を構築する。
• 比較原理および漸近的解析を用いて、半波プロファイルおよび広がり速度の鋭い境界を導出する。
• 半波と移動波の二分法的議論を用いて、長期的挙動を分類する。
• べき則のアンザッツを用いた下界解の構成を用い、カーネルが $|x|^{-\beta}$ のように減衰する場合に $\beta \in (1,2)$ であれば加速的広がりが成立することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所拡散および自由境界を伴う協同的系において、カーネル関数のどのような条件下で広がり速度が有限または無限（加速的）となるか。
• RQ2 有限速度状態における広がり速度はどのように決定され、その正確な漸近的挙動は何か。
• RQ3 半波解の鋭いプロファイルは何か、そして広がり速度とどのように関係しているか。
• RQ4 カーネル関数の減衰率が $|x|^{-\gamma}$ のように異なる場合、広がりダイナミクスにどのように影響を与えるか。
• RQ5 特にべき則に従って減衰するカーネルに対して、有限および無限速度の両状態における広がり速度を定量的に推定できるか。

主な発見

• カーネル関数が無限遠で $|x|^{-\gamma}$ のように減衰する場合、本稿では有限および無限速度状態の両方において広がり速度の鋭い推定を確立する。
• 広がり速度が有限である場合、特定の半波解によって正確に決定され、その半波プロファイルも鋭く推定される。
• $\gamma \in (1,2)$ であるカーネルに対して、本稿では $t^{\gamma/2}$ のように広がり先が成長する加速的広がりを証明し、非局所拡散を伴う自由境界問題におけるこのような定量的結果は初めてである。
• 広がり先の正確な漸近的挙動を導出し、$\gamma \in (1,2)$ の場合に $c_0 t - h(t)$ および $c_0 t + g(t)$ が $t^{1-\gamma/2}$ のように成長することを示す。
• 主固有値 $\tilde{\lambda}_1 < 0$ であれば広がり速度は有限であり、$\tilde{\lambda}_1 \geq 0$ であれば無限（加速的）であることが示され、鋭い閾値条件が得られる。
• $\gamma \in (1,2)$ の場合に広がり速度が無限であることを証明するために、べき則のアンザッツを用いた下界解を構成し、広がり先の成長率について一致する上界および下界を提供する。