[論文レビュー] Semiabelian prolongations of pointed abelian schemes

David Holmes|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、次元が1より大きい基底スキーム上のアーベルスキームに対するネロンモデルの存在を調査し、その存在に必要な十分な条件を確立する。一般には、基底の変更や変形を行ってもネロンモデルは存在しないが、一般に codimension-2 の部分集合を除いては存在することが示され、ネロンモデル理論およびアーベル・ジャコビ写像の理論が、古典的な1次元基底上の相対的曲線のケースから拡張される。

ABSTRACT

We investigate to what extent the theory of Neron models of jacobians and of abel-jacobi maps extends to relative curves over base schemes of dimension greater than 1. We give a necessary and sufficient criterion for the existence of a Neron model. We use this to show that, in general, Neron models do not exist even after making a modification or even alteration of the base. On the other hand, we show that Neron models do exist outside some codimension-2 locus.

研究の動機と目的

• 相対的曲線が1次元基底上で定義される古典的ケースから、高次元の基底スキーム上へのネロンモデル理論およびアーベル・ジャコビ写像理論の拡張を図ること。
• 高次元の設定においてネロンモデルが存在する正確な条件を同定すること。
• ネロンモデルの存在が失敗する状況において、基底スキームの変更や変形によってそれを是正できるかどうかを調査すること。

提案手法

• 家族におけるネロンモデル構成の振る舞いに基づいた、ネロンモデル存在のための基準を構築すること。
• 特に半アーベルスキームおよびその延長に関連する技術を用いる、代数幾何学的手法の適用。
• コホホロジー的および双対性の議論を用いて、ネロンモデル存在の障害を分析すること。
• 特異点の役割と特異点集合のcodimensionが、ネロンモデル構成の失敗または成功に与える影響を検討すること。
• 基底変換、特に変形や変更を含めた場合のネロンモデルの振る舞いを分析すること。
• 一般化の基礎として、ジャコビアンおよびアーベル・ジャコビ写像のネロンモデル理論を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元の基底スキーム上のアーベルスキームに対して、どのような条件下でネロンモデルが存在するか？
• RQ2 ネロンモデルの存在が失敗する場合、基底スキームの変更や変形によってそれを是正できるか？
• RQ3 古典的ネロンモデル理論が、次元が1より大きい基底上の相対的曲線へどの程度まで拡張可能か？
• RQ4 高次元設定において、ネロンモデルが存在しなくなる幾何的部分集合（locus）は何か？
• RQ5 特異点集合のcodimensionが、ネロンモデルの存在にどのように影響するか？

主な発見

• 古典的結果を高次元基底へ一般化する、ネロンモデル存在の必要十分条件が確立された。
• 一般には、基底の変形や変更を行ったとしても、高次元基底上のアーベルスキームに対してネロンモデルは存在しない。
• 基底スキームにおいて、codimensionが少なくとも2の閉部分集合を除いて、ネロンモデルは存在する。
• ネロンモデル存在の障害は、基底スキームの幾何構造および特異点付近でのアーベルスキームの振る舞いと関係していることが示された。
• 古典的フレームワークであるネロンモデルおよびアーベル・ジャコビ写像理論は、1次元基底を越えて単純に拡張できないことが示された。