[論文レビュー] Semiclassical analysis of elastic surface waves

Maarten V. de Hoop, Alexei Iantchenko+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Seismic Waves and Analysis参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、波長と同程度のスケールを持つ境界に近い三次元積層媒体における弾性表面波の解析のための半古典的枠組みを構築する。表面波の伝播を記述する有効ハミルトニアンは、垂直方向の1次元シュレーディンガー型作用素の固有値から導出され、主な貢献は、厳密なパラメトリクス構成、表面モード数のWeylの法則、および横等方性下でのレイリー波とローブ波への分離である。応用分野は地球物理学および波ガイド理論に及ぶ。

ABSTRACT

In this paper, we present a semiclassical description of surface waves or modes in an elastic medium near a boundary, in spatial dimension three. The medium is assumed to be essentially stratified near the boundary at some scale comparable to the wave length. Such a medium can also be thought of as a surficial layer (which can be thick) overlying a half space. The analysis is based on the work of Colin de Verdière on acoustic surface waves. The description is geometric in the boundary and locally spectral "beneath" it. Effective Hamiltonians of surface waves correspond with eigenvalues of ordinary differential operators, which, to leading order, define their phase velocities. Using these Hamiltonians, we obtain pseudodifferential surface wave equations. We then construct a parametrix. Finally, we discuss Weyl's formulas for counting surface modes, and the decoupling into two classes of surface waves, that is, Rayleigh and Love waves, under appropriate symmetry conditions.

研究の動機と目的

• 波長と同程度のスケールを持つ境界に近い三次元積層媒体における弾性表面波の半古典的理論の構築を目的とする。
• 垂直方向の1次元シュレーディンガー型作用素の固有値から導出される有効ハミルトニアンを用いて、表面波の伝播を特徴付けることを目的とする。
• 境界上の擬微分作用素と双特徴線流れを用いたパラメトリクス構成を、表面波に対して行うことを目的とする。
• 等方的および非等方的設定における表面モード数のWeylの法則を導出することを目的とする。
• 横等方性の下で表面波をレイリー波とローブ波に分離することを目的とし、古典的地球物理学的モデルを一般化する。

提案手法

• 法線座標と局所的積層構造を用いて、3次元波動方程式を境界に適合した系に還元し、弾性表面波の半古典的パラメトリクスを構築する。
• 2次元境界上に定義される有効ハミルトニアンを、垂直方向の1次元シュレーディンガー型作用素の固有値として定義し、表面波の位相速度を支配する。
• 非斉次主要記号を持つ擬微分作用素を用いて表面波のダイナミクスをモデル化し、ハミルトニアンを主要記号とする。
• スペクトル理論を用いて、垂直方向作用素の離散スペクトルと連続スペクトルを分析し、点スペクトルを表面波、連続スペクトルを体波に対応付ける。
• 擬微分作用素のトレースクラス推定と固有値分布の漸近解析を用いて、表面モード数のWeylの法則を確立する。
• 横等方性の下で、対称性条件と垂直方向の固有関数の挙動を分析し、レイリー波とローブ波への分離を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三次元積層媒体における弾性表面波は、垂直方向の1次元シュレーディンガー型作用素の固有値から導出される有効ハミルトニアンに基づく半古典的枠組みでどのように記述できるか？
• RQ2 垂直方向の1次元シュレーディンガー型作用素の固有値と、境界面上の表面波の位相速度との関係は何か？
• RQ3 擬微分作用素と双特徴線流れを用いた表面波のパラメトリクスは、どのように構成できるか？
• RQ4 表面モードの漸近的数え上げ法則は何か？ そして、等方的および非等方的設定において、Weylの法則はどのように一般化されるか？
• RQ5 どのような対称性条件下で表面波はレイリー波とローブ波に分離可能であり、これは垂直方向作用素のスペクトル構造とどのように関係するか？

主な発見

• 表面波の有効ハミルトニアンは、垂直方向の1次元シュレーディンガー型作用素の固有値に一致し、表面波の位相速度を決定する。
• これらの有効ハミルトニアンの主要記号を持つ擬微分作用素を用いて、表面波のパラメトリクスが構成され、漸近解の生成が可能になる。
• 垂直方向シュレーディンガー型作用素の離散スペクトルは表面波に対応し、連続スペクトルは体波に対応するが、スペクトルが重複しても成り立つ。
• 等方的および非等方的両設定において、表面モード数のWeylの法則が確立され、擬微分作用素のトレースクラス推定と固有値分布の漸近解析から、漸近式が導出される。
• 境界に垂直な対称軸を持つ横等方性の下で、表面波はレイリー波とローブ波に分離され、古典的地球物理学的モデルと整合的である。
• 一般化されたバーナード＝ロス条件により、垂直方向に指数関数的に減衰する固有関数の存在が保証され、局在化した表面モードが特徴づけられる。