[論文レビュー] Semiclassical analysis of the Loop Quantum Gravity volume operator: Area Coherent States

Cecilia Flori|ArXiv.org|Apr 8, 2009

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、面積コherent状態（面積演算子の二乗に基づく複素化子を有するコherent状態）を用いて、ループ量子重力の体積演算子の半古典的性質を調査する。これらの状態は、人工的なスケーリングを施すか、測度ゼロのグラフ配置の場合を除き、正しい半古典的性質を再現できないことが判明し、結果として半古典的解析には不適切であり、埋め込みに依存しない研究においては除外すべきであると結論づける。

ABSTRACT

We continue the semiclassical analysis of the Loop Quantum Gravity (LQG) volume operator that was started in the companion paper [23]. In the first paper we prepared the technical tools, in particular the use of complexifier coherent states that use squares of flux operators as the complexifier. In this paper, the complexifier is chosen for the first time to involve squares of area operators. Both cases use coherent states that depend on a graph. However, the basic difference between the two choices of complexifier is that in the first case the set of surfaces involved is discrete, while, in the second it is continuous. This raises the important question of whether the second set of states has improved invariance properties with respect to relative orientation of the chosen graph in the set of surfaces on which the complexifier depends. In this paper, we examine this question in detail, including a semiclassical analysis. The main result is that we obtain the correct semiclassical properties of the volume operator for i) artificial rescaling of the coherent state label; and ii) particular orientations of the 4- and 6-valent graphs that have measure zero in the group SO(3). Since such requirements are not present when analysing dual cell complex states, we conclude that coherent states whose complexifiers are squares of area operators are not an appropriate tool with which to analyse the semiclassical properties of the volume operator. Moreover, if one intends to go further and sample over graphs in order to obtain embedding independence, then the area complexifier coherent states should be ruled out altogether as semiclassical states.

研究の動機と目的

• 面積演算子の二乗を複素化子として用いる面積コherent状態が、従来のフラックスに基づくコherent状態よりも優れた半古典的性質を示すかどうかを評価すること。
• 面積コherent状態における連続的な表面依存性が、離散的表面選択に比べ、空間的回転および並進不変性に優れているかどうかを調査すること。
• これらの状態が、微分同相写像に類似する変換のもとでも、古典的体積を一貫して半古典的極限で再現できるかどうかを特定すること。
• 面積コherent状態が、LQGにおける埋め込みに依存しない半古典的解析に実用的かどうかを評価すること。
• 双対セル複体状態（既に半古典的領域で優れた性能を示していることが知られている）と比較し、相対的な性能と頑健性を評価すること。

提案手法

• 面積演算子の二乗を複素化子として用いる複素化子コherent状態を用い、状態定義に連続的な表面集合を導入する。
• 4-、6-、および8-価のグラフに対して、さまざまな配置および並進状態の下で、体積演算子の期待値に関する明示的な半古典的解析を実施する。
• 回転および並進されたグラフにおける幾何的因子およびエッジ計量成分を計算し、不変性と一貫性をテストする。
• 体積期待値がグラフの配置および空間的埋め込みにどのように依存するかを分析し、特に $rac{l}{ar{ ho}}$-次数の項に注目する。
• コherent状態ラベルのスケーリングを適用して、半古典的一致が人工的に回復可能かどうかをテストする。
• 結果を双対セル複体状態の結果と比較し、相対的な性能と頑健性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 面積演算子の二乗を複素化子として用いる面積コherent状態が、体積演算子の正しい半古典的期待値をもたらすか？
• RQ2 フラックスに基づく複素化子に比べ、空間的回転および並進不変性が向上しているか？
• RQ3 コherent状態パrameterの人工的スケーリングなしに、正しい古典的体積が回復可能か？
• RQ4 正しい半古典的挙動を示すために必要なグラフ配置（例：4-および6-価）は一般的か、それともSO(3)において測度ゼロの集合を形成するか？
• RQ5 面積コherent状態は、LQGの埋め込みに依存しない半古典的解析において信頼性を持って使用可能か？

主な発見

• 面積コherent状態における体積演算子の期待値は、コherent状態ラベルの人工的スケーリングが行われるまで、古典的体積を再現しない。
• 正しい半古典的挙動が得られるのは、特定の非一般的配置の4-および6-価グラフに限られ、SO(3)において測度ゼロの集合を形成する。
• 空間的回転および並進の下でも一貫した半古典的性質を維持できないため、不変性および頑健性に欠ける。
• 体積期待値における幾何的因子は、グラフの配置および埋め込みに敏感に依存し、半古典的状態としての信頼性を損なう。
• これらの欠陥のため、面積コherent状態は体積演算子の半古典的解析に適切なツールではないと結論づけられる。
• 埋め込みの独立性を確保するためにグラフのサンプリングを行う場合、面積コherent状態はその構成から完全に除外すべきである。