[論文レビュー] Semiclassical hydrodynamics of a quantum Kane model for semiconductors

Luigi Barletti, G. Borgioli+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$k\cdot p$ ハミルトニアンと Wigner-BGK 形式を用いて、2つのエネルギーバンドを有する半導体における電子の半古典的流体モデルを導出する。モーメント方程式を閉じるために最大エントロピー原理を適用することで、局所平衡状態が密度および速度場によって一意にパラメータ化され、非放物形バンドのダイナミクスと帯間遷移が BGK に類似た緩和項を通じて捉えられる一貫性のある流体記述が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we derive a semiclassical hydrodynamic system for electron densities and currents in the two energy bands of a semiconductor. We use the semiclassical Wigner equation with a k.p Hamiltonian and a BGK dissipative term to construct the first two moment equations. The closure of the moment system is obtained using the Maximum Entropy Principle, by minimizing a Gibbs free-energy functional under suitable constraints. We prove that the constraint equations can be uniquely solved, i.e. that the local equilibrium state can be parametrized by the density and velocity field. Some BGK-like models are proposed to mimic the quantum interband migration.

研究の動機と目的

• 物理的厳密性と数値的取り扱いやすさの両立を図った2バンド半導体における電子輸送の流体モデルの構築を目的とする。
• 量子力学と整合性を保ちつつ、非放物形バンド効果と帯間遷移を流体枠組みに組み込むこと。
• 最大エントロピー原理を用いてモーメント系を閉じ、熱力学的に整合性のある流体変数を保証すること。
• 物理的根拠に基づいた BGK に類似た衝突項を提案し、帯間散乱および緩和過程をモデル化すること。
• 最大エントロピー原理による閉じ込みにおいて、ラグランジュ乗数 $A_{\pm}$ と $\mathbf{B}_{\pm}$ が巨視的密度および速度の関数として一意に可逆であることを証明すること。

提案手法

• 擬スピン子形式を用いて、価電子帯と伝導帯を記述する $2\times2$ 行列演算子として $k\cdot p$ ハミルトニアンを定式化する。
• 行列値のウィグナー関数を用いて、位相空間における電子状態を記述し、スカラー部および擬スピン的部に分解する。
• ウィグナー-BGK 方程式から、バンド密度 $n_{\pm}$ および電流 $n_{\pm}\mathbf{u}_{\pm}$ の零次および一次モーメント方程式を導出する。
• モーメント制約の下でギブズ自由エネルギー汎関数を最小化することで、最大エントロピー原理を適用し、モーメント系を閉じる。
• バンド緩和、等方的帯間散乱、偏光緩和をモデル化するための3つの BGK に類似た衝突項を導入する。
• ラグランジュ乗数 $A_{\pm}$ と $\mathbf{B}_{\pm}$ が巨視的密度および速度の関数として全空間で可逆であることを証明し、一意な閉じ込みを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k\cdot p$ モデルに由来する非放物形バンド効果を保持しつつ、2バンド半導体に対して一貫性のある流体モデルを導出できるか？
• RQ2 2バンド系における行列値ウィグナー関数のモーメント系を閉じる際に、最大エントロピー原理をどのように適用できるか？
• RQ3 流体モデルにおける圧力および有効質量テンソルの数学的構造は何か？また、巨視的変数とどのように関係しているか？
• RQ4 完全な量子力学的輸送理論を用いずに、半古典的流体枠組みで帯間遷移をどのようにモデル化できるか？
• RQ5 この2バンド系において、局所平衡状態が密度および速度場によって一意に決定されるか？

主な発見

• 最大エントロピー閉じ込みにおけるラグランジュ乗数 $A_{\pm}$ と $\mathbf{B}_{\pm}$ は、巨視的密度 $n_{\pm}$ および速度場 $\mathbf{u}_{\pm}$ の関数として全空間で可逆であり、局所平衡状態の一意的かつ滑らかなパラメータ化を保証する。
• 圧力テンソル $\mathbb{T}_{\pm}$ は、エネルギーおよび運動量分布のモーメント母関数の対数のヘッセ行列として表現され、最大エントロピー原理から導出される。
• 有効質量テンソル $\mathbb{Q}_{\pm}$ は、バンド質量テンソルの逆行列をエネルギーおよび運動量項の指数関数で重み付けした積分として与えられる。
• 3つの異なる BGK に類似た衝突項を提案した：バンド緩和、等方的帯間散乱、偏光緩和。各項とも全密度および全運動量を保存する。
• バンド緩和項 $C^{\mathit{br}}$ は上位バンドを枯渇させ、下位バンドを特徴的な時間スケール $\tau_{\mathit{br}}$ で励起する。一方、等方的散乱項 $C^{\mathit{is}}$ は運動量を等方的に再分配し、密度および電流の偏光を緩和する。
• 得られた流体系 (53) はオイラー＝ポisson型であり、バンド密度および速度に依存する源項 $N_{\pm}$ および $\mathbf{U}_{\pm}$ を含み、ポisson方程式を介して自己無撞着な静電ポテンシャルを内蔵している。