[論文レビュー] Semiclassical Mechanics of Constrained Systems

O. Yu. Shvedov|ArXiv.org|Nov 28, 2001

Elasticity and Wave Propagation参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、精緻化代数的量論を用いて制約付き系の半古典的枠組みを構築し、最小不確定性波パッケットの重ね合わせとして定義される「基本的半古典的状態」を導入する。物理的半古典的状態は制約面における古典的変数を持つ必要があり、内積は退化しており、因子分解が必要である。このアプローチはWKBおよびマスロフの手法を一般化し、ゲージ構造と半古典的力学における時間発展演算を保存する。

ABSTRACT

Semiclassical mechanics of systems with first-class constraints is developed. Starting from the quantum theory, one investigates such objects as semiclassical states and observables, semiclassical inner product, semiclassical gauge transformations and evolution. Quantum mechanical semiclassical substitutions (not only the WKB-ansatz) can be viewed as "composed semiclassical states" being infinite superpositions of wave packets with minimal uncertainties of coordinates and momenta ("elementary semiclassical states"). Each elementary semiclassical state is specified by a set (X,f) of classical variables X (phase, coordinates, momenta) and quantum function f ("shape of the wave packet" or "quantum state in the background X"). A notion of an elemantary semiclassical state can be generalized to the constrained systems, provided that one uses the refined algebraic quantization approach based on modifying the inner product rather than on imposing the constrained conditions on physical states. The inner product of physical states is evaluated. It is obtained that classical part of X the semiclassical state should belong to the constrained surface; otherwise, the semiclassical state (X,f) will have zero norm for all f. Even under classical constraint conditions, the semiclassical inner product is degenerate. One should factorize then the space of semiclassical states. Semiclassical gauge transformations and evolution of semiclassical states are studied. The correspondence with semiclassical Dirac approach is discussed.

研究の動機と目的

• 制約付き系における半古典的状態の概念を明確化し、非制約系の量子力学からの一般化を図ること。
• 半古典的観測量を定義し、それらが量子的および古典的極限と整合することを保証すること。
• 内積と制約構造を保存する半古典的ゲージ変換および時間発展演算の定式化を構築すること。
• 提案手法とWKBおよびエーレンフェスト近似といった既存の半古典的手法との対応関係を確立すること。
• 精緻化代数的量論の線形化処理後に、内積の退化を因子分解によって解消すること。

提案手法

• 古典的位相空間変数 (X,f) と形状関数 f をパrameterとする、最小不確定性波パッケットの無限重ね合わせとして定義される「基本的半古典的状態」を導入する。
• 状態に制約を課す代わりに内積を変更することで精緻化代数的量論を適用し、不定計量を回避する。
• 精緻化代数的量論の線形化処理により半古典的内積を導出し、それが退化しており因子分解が必要であることを示す。
• マスロフの複素胚を伴うラグランジュ多様体理論を用いて波関数 (B.5) を構築し、一般化された重ね合わせ (B.8) に拡張することで、より広範な適用性を達成する。
• 波パッケット形状が時間に依存する二次ハミルトニアンに従って時間発展演算されることを示し、O(√ħ) のオーダーで形状が保存されることを保証する。
• 波関数 (B.5) が α に関する微小なシフトに対して不変となる条件 (B.6) および (B.7) を導出し、半古典的形状の安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一級制約を有する系において、WKB や波パッケットのアンツァツに一般化された半古典的状態を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 制約付き系における半古典的内積の構造は何か？なぜ退化しているのか？
• RQ3 半古典的ゲージ変換はどのように生じるのか？また、精緻化代数的量論のアプローチとどのように関係するのか？
• RQ4 半古典的極限において、波パッケット形状の時間発展演算における安定性を保証する条件は何か？
• RQ5 提案された枠組みは、ディラックのアプローチ、エーレンフェストの方法、および標準的WKB近似とどのように対応するのか？

主な発見

• 半古典的状態 (X,f) は、古典的部分 X が制約面にある場合にのみゼロノルムを持つため、物理的状態のためには制約面への位置が必須条件である。
• 半古典的内積は、X が制約を満たしても依然として退化しており、物理的状態を定義するには状態空間の因子分解が必要である。
• 精緻化代数的量論の処理により線形化された内積が得られ、退化する方向を商集合として除いた後、物理的状態を定義できる。
• 半古典的ゲージ変換は制約代数の構造から導出され、内積を保存する。これは古典的ゲージ対称性を一般化する。
• 波パッケット形状の時間発展演算は、時間に依存する二次ハミルトニアンを有するシュレーディンガー方程式に従い、O(√ħ) のオーダーで波関数 (B.4) の形が保存される。
• 基本状態の重ね合わせとして定義される一般化された波関数 (B.8) は、WKB 型およびマスロフ型の状態を特別な場合として含み、さまざまな半古典的近似を統一的に扱うフレームワークを提供する。