[論文レビュー] Semiclassical quantization of gravity I: Entropy of horizons and the area spectrum

Τ. Padmanabhan, Apoorva Patel|ArXiv.org|May 19, 2003

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有効理論の原則——特定の観測者に利用可能な変数のみを用いて物理法則を記述すること——が、ホライズン面積が $2\pi\hbar$ の等間隔で量子化される半古典的重力の量子化を導き、自然単位系においてホライズンのエントロピーが正確にその面積の1/4に一致することを示している。重力作用の境界項はホライズン上では位相的面積項に簡略化され、離散的面積スペクトルが得られ、Bekenstein-Hawkingのエントロピー公式が原理的に導かれる。

ABSTRACT

The principle of equivalence provides a description of gravity in terms of the metric tensor and determines how gravity affects the light cone structure of the space-time. This, in turn, leads to the existence of observers (in any space-time) who do not have access to regions of space-time bounded by horizons. To take into account this generic possibility, it is necessary to demand that \emph{physical theories in a given coordinate system must be formulated entirely in terms of variables that an observer using that coordinate system can access}. This principle is powerful enough to obtain the following results: (a) The action principle of gravity must be of such a structure that, in the semiclassical limit, the action of the unobserved degrees of freedom reduces to a boundary contribution $A_{ m boundary}$ obtained by integrating a four divergence. (b) When the boundary is a horizon, $A_{ m boundary}$ essentially reduces to a single, well-defined, term. (c) This boundary term must have a quantized spectrum with uniform spacing, $ΔA_{boundary}=2π\hbar$, in the semiclassical limit. Using this principle in conjunction with the usual action principle in gravity, we show that: (i) The area of any one-way membrane is quantized. (ii) The information hidden by a one-way membrane leads to an entropy which is always one-fourth of the area of the membrane, in the leading order. (iii) In static space-times, the action for gravity can be given a purely thermodynamic interpretation and the Einstein equations have a formal similarity to laws of thermodynamics.

研究の動機と目的

• 時空領域への観測者のアクセスに依存する枠組みを、半古典的重力の理論として構築すること。
• 有効理論の原則を用いて、重力作用の境界項からホライズンのエントロピーを導出すること。
• 一方向膜（ホライズン）の面積が均等な間隔 $\Delta A = 2\pi\hbar$ で量子化されることを示すこと。
• 静的時空におけるアインシュタイン方程式に熱力学的解釈を与えること。
• 重力の境界構造を量子エントロピーと面積の量子化と統合すること。

提案手法

• 有効理論の原則を適用する：物理法則は、特定の座標系における観測者に利用可能な変数にのみ依存しなければならない。
• 重力作用の境界寄与項を四次元発散項として特定し、ホライズン上では単一の項に簡略化されることを示す。
• ガウス・コダッチ分解を用いて、空間超曲面 $\Sigma$ と光的または時間的境界 $\mathcal{S}$ 上での境界項を分離する。
• 境界作用の振る舞いを $N \to 0$（すなわちホライズン上）の極限で分析し、面積項以外の寄与が消えることを示す。
• ホライズン上での有効境界作用を $A_{\text{boundary:horizon}} = k_1 \text{Vol}(\Sigma) + k_2 \int_{\Sigma} \sqrt{h} K + k_4 \text{Area}(\mathcal{Q})$ として導出し、$k_4 = 4\pi c_2$ であることを得る。
• ADM形式を用いて導出された境界項を標準作用と一致させ、既知の結果と整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有効理論の原則は、半古典的極限における重力作用の形をどのように制約するか？
• RQ2 境界がホライズンであるとき、作用の境界項がなぜ純粋な面積項に簡略化されるのか？
• RQ3 半古典的量子重力枠組みにおいて、ホライズンの面積スペクトルの間隔は何かによって決定されるか？
• RQ4 Bekenstein-Hawkingのエントロピー公式は、作用の境界項からどのように導出可能か？
• RQ5 静的時空において、アインシュタイン方程式はどのような形で熱力学的解釈を受けるか？

主な発見

• 任意の一方通行膜（ホライズン）の面積は、ブラックホールの質量や電荷に依存せず、$\Delta A = 2\pi\hbar$ の等間隔で量子化される。
• ホライズンのエントロピーは、プランク単位系において、leading order で正確にその面積の1/4に一致し、$S = A/4$ となる。これはBekenstein-Hawkingの公式と一致する。
• ホライズン上では、作用の境界項は $k_4 \text{Area}(\mathcal{Q})$ の単一の面積項に簡略化され、$k_4 = 4\pi c_2$ となる。$N \to 0$ の極限で他の寄与が消えるためである。
• ホライズン上の全境界作用はフォリエーションに依存せず、ホライズン表面の内挿幾何にのみ依存する。
• 静的時空におけるアインシュタイン方程式は、重力作用が自由エネルギーに類似した役割を果たすことで、熱力学的法則として解釈可能である。
• 導出により、ホライズン面積の量子化とエントロピー公式が、有効理論の原則と重力作用の構造から自然に導かれることが示された。