[論文レビュー] Semiclassical Spectral Invariants for Schrödinger Operators

Victor Guillemin, Zuoqin Wang|ArXiv.org|May 6, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^n$ 上のシュレーディンガー作用素の半古典的スペクトル測度について、漸近展開を導出する。その展開の最初の数項——特に主項と補助項——が、1次元および2次元において、ポテンシャル $V$ と磁場 $B$ を決定することを示す。特に、$\mathbb{R}^2$ における回転対称な $V$ と $B$ に対しては、両者とも $O(\hbar^\infty)$ の精度までスペクトル的に決定可能であり、1次元では、スペクトル測度と作用素のバーキホフ正規形の間の直接的なスペクトル的恒等式が成立する。

ABSTRACT

In this article we study the semiclassical spectral measures associated with Schrödinger operators on $R^n$. In particular we compute the first few coefficients of the asymptotic expansions of these measures and, as an application, give an alternative proof of Colin de Verdiere's result on recovering one dimensional potential wells from semiclassical spectral data. We also study the relation of semiclassical spectra measures to Birkhoff normal forms and describe a generalization of the asymptotic expansion above to the Schrödinger operator in the presence of a magnetic field.

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^n$ 上のシュレーディンガー作用素の半古典的スペクトル測度についての漸近展開を導出すること。
• スペクトル測度展開の最初の数項を解析することにより、1次元および2次元における逆スペクトル結果を確立すること。
• \mathbb{R}^2$ における回転対称なポテンシャルおよび磁場に対して、$V$ と $B$ が両方ともスペクトル的に決定可能であることを示すこと。
• 1次元における量子バーキホフ正規形定理を証明し、スペクトル測度を作用素のバーキホフ正規形に直接結びつけること。
• スペクトル不変量を磁場を有するシュレーディンガー作用素へ拡張し、スペクトル測度の修正された漸近公式を導出すること。

提案手法

• $\hbar \to 0$ のときのスペクトル測度 $\mu_\hbar$ の漸近展開を導出し、$\mu_\hbar \sim \sum \hbar^{2k} \left(\frac{d}{dt}\right)^{2k} \mu_k$ の形で表す。
• 楕円型作用素の一般半古典的スペクトル定理を用いて、初期の展開 $\left(\frac{d}{dt}\right)^{4k}$ を得た後、部分積分を適用して $\left(\frac{d}{dt}\right)^{2k}$ の形に簡略化する。
• 展開の最初の2項の明示的公式を計算する：$\nu_0(f) = \int f(\frac{\xi^2}{2} + V(x)) \, dx \, d\xi$ および $\nu_1(f) = -\frac{1}{24} \int f^{(2)}(\frac{\xi^2}{2} + V(x)) \sum_i \frac{\partial^2 V}{\partial x_i^2} \, dx \, d\xi$。
• 磁場を含める方法を一般化し、$\|B\|^2$ および $\sum \partial^2 V / \partial x_k^2$ を含む修正された補助項を導出する。
• 量子バーキホフ正規形を確立する：1次元では、$S_\hbar$ は $H_{QB}(S_\hbar^{\text{har}}, \hbar^2) + O(\hbar^\infty)$ にユニタリ同値であり、ここで $S_\hbar^{\text{har}}$ は調和振動子を表す。
• スペクトル測度 $\mu_\hbar(f)$ が $\int_0^a f(t) \frac{dK}{dt}(t, \hbar^2) \, dt$ で与えられることを証明し、$K(t, \hbar^2)$ がバーキホフ正規形の逆関数であることを示し、スペクトル幾何学的双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 \mathbb{R}^2$ におけるシュレーディンガー作用素の漸近的スペクトル測度から、ポテンシャル $V$ と磁場 $B$ を再構成できるか？
• RQ2 特に対称性の仮定の下で、1次元におけるスペクトル測度がポテンシャルをどの程度まで決定するか？
• RQ3 1次元において、スペクトル測度とシュレーディンガー作用素のバーキホフ正規形を直接結びつけるスペクトル的恒等式が存在するか？
• RQ4 磁場が存在する場合、磁場なしの場合と比較して、漸近的スペクトル不変量はどのように変化するか？
• RQ5 ユニタリ同値でないがスペクトルが等しいポテンシャル（等スペクトルなポテンシャル）が存在するか？そのような場合、スペクトル的同定が成立しないための条件は何か？

主な発見

• $\mathbb{R}^2$ において、$V$ と $B$ が回転対称な場合、両者ともスペクトル的に決定可能である：$O(\hbar^2)$ および $O(\hbar^4)$ 項のスペクトル測度展開から $V$ と $B$ を再構成可能である。
• 1次元では、スペクトル測度が作用素のバーキホフ正規形を決定し、逆にバーキホフ正規形がスペクトル測度を決定する。関係式 $H_{QB}(s, \hbar^2) = t \Longleftrightarrow s = K(t, \hbar^2)$ が成り立つ。
• $O(\hbar^6)$ 項のスペクトル測度展開から、スペクトル的に決定可能な積分が得られる：$\int_{\frac{\xi^2}{2} + V(x) \leq \lambda} \left( \frac{\xi^8}{490}(V^{\prime\prime\prime}(x))^2 - \frac{\xi^6}{63}(V^{\prime\prime}(x))^3 - \frac{\xi^4}{12}(V^\prime(x)V^{\prime\prime}(x))^2 - \frac{11}{144}(V^\prime(x))^6 \right) \, dx \, d\xi$。
• $O(\hbar^4)$ 項から、スペクトル的に決定可能な積分が得られる：$\int \left( \frac{1}{480}(V^{\prime\prime}(x))^2 f^{(4)} + \frac{7}{3456}(V^\prime(x))^4 f^{(6)} \right) \, dx \, d\xi$、これは $\frac{1}{1152} \int \left(7V^\prime V^{\prime\prime\prime} + \frac{47}{5}(V^{\prime\prime})^2 \right) f^{(4)} \, dx \, d\xi$ に簡略化される。
• 非対称性の仮定がない場合、$O(\hbar^\infty)$ の精度まで等スペクトルであるが互いに異なる単一井戸ポテンシャルが非可算無限個存在可能であり、これにより、このような条件がなければスペクトル的同定は失敗することを示す。
• 磁場付きシュレーディンガー作用素では、補助項が $\frac{1}{48} \int f^{(2)}(\frac{1}{2}\sum (\xi_i + a_i)^2 + V(x)) \left( -2\sum \frac{\partial^2 V}{\partial x_k^2} + \|B\|^2 \right) \, dx \, d\xi$ に修正され、回転対称性のもとで $V$ と $\|B\|$ がスペクトル的に決定可能である。