[論文レビュー] Semidefinite Approximations of Reachable Sets for Discrete-time Polynomial Systems

Victor Magron, Pierre-Loïc Garoche+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 14被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、多項式システムと半代数的制約を伴う離散時間系の到達可能集合の公証可能な外部近似を計算するための凸半定値計画（SDP）の階層を提案する。到達可能集合を無限次元モーメント問題の解として定式化することで、多項式の上位集合が真の到達可能集合に $L_1$ ノルムで収束し、多項式の次数が増加するに従い強い収束保証を得られる。

ABSTRACT

We consider the problem of approximating the reachable set of a discrete-time polynomial system from a semialgebraic set of initial conditions under general semialgebraic set constraints. Assuming inclusion in a given simple set like a box or an ellipsoid, we provide a method to compute certified outer approximations of the reachable set. The proposed method consists of building a hierarchy of relaxations for an infinite-dimensional moment problem. Under certain assumptions, the optimal value of this problem is the volume of the reachable set and the optimum solution is the restriction of the Lebesgue measure on this set. Then, one can outer approximate the reachable set as closely as desired with a hierarchy of super level sets of increasing degree polynomials. For each fixed degree, finding the coefficients of the polynomial boils down to computing the optimal solution of a convex semidefinite program. When the degree of the polynomial approximation tends to infinity, we provide strong convergence guarantees of the super level sets to the reachable set. We also present some application examples together with numerical results.

研究の動機と目的

• 半代数的初期条件および状態制約下における離散時間多項式系の到達可能集合を近似する課題に対処すること。
• 収束保証を伴う公証可能な外部近似を提供する手法を提示すること。
• 従来の線形緩和法やリャプノフベースの手法の限界を克服し、しばしばタイトさや収束を保証できない問題を解消すること。
• 多項式次数を増加させることで近似精度を体系的に向上させる凸半定値計画の階層を開発すること。

提案手法

• 占有測度とモーメント緩和を用いて、測度上の無限次元線形計画問題として到達可能集合を定式化する。
• 多項式の平方和（SOS）表現とモーメント行列制約に基づく、プライマル・デュアルの半定値計画（SDP）の階層を構築する。
• 次数を増加させる多項式の上位集合を用いて到達可能集合を外部近似し、その係数をSDP最適化により計算する。
• 質量が有界であるものと仮定することで、近似が到達可能集合の特性関数に $L_1$ ノルムで収束することを保証する。
• 無限次元問題を有限次元凸緩和に変換するため、ラッセルレ階層フレームワークを活用する。
• 有界および無限大の軌道、特にジュリア集合や栄養塩の増殖モデルを含む系に対し、近似を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸最適化を用いて、半代数的制約を伴う離散時間多項式系の到達可能集合の公証可能な外部近似を計算できるか？
• RQ2 多項式次数を増加させると、近似は真の到達可能集合にどのように収束するか？
• RQ3 モーメント問題の定式化と到達可能集合へのルベーグ測度制限との関係は何か？
• RQ4 非凸的または非連結な到達可能集合（例：マンデルブロ集合やジュリア集合）を含む系に対しても、この手法は適用可能か？
• RQ5 このフレームワークは内部近似を提供するように拡張可能か、連続時間系に適応可能か？

主な発見

• 無限次元モーメント問題の最適値は到達可能集合の体積に一致し、最適解はこの集合に制限されたルベーグ測度である。
• 外部近似は、次数を増加させる多項式の上位集合として構築され、その係数は凸半定値計画により計算される。
• 多項式近似の階層は、次数が無限大に近づくにつれて、到達可能集合の特性関数に $L_1$ ノルムで強く収束する。
• 数値結果から、二次のジュリア写像に対して、パラメータがマンデルブロ集合内の位置に依存して連結・非連結なダイナミクスを正しく区別できることが示された。
• 栄養塩の増殖モデルでは、近似が平衡点に収束し、次数を増加させることで精度が向上することが明らかになった。
• 本手法は収束保証と公証可能な境界を提供し、タイトさと理論的整合性の面で、従来のLPベースおよびリャプノフベースの手法を凌駆した。