[論文レビュー] Semidefinite programming, harmonic analysis and coding theory

Christine Bachoc|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 36被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、コンパクト群上の調和解析と半定値計画法（SDP）を用いた一般化された枠組みを提案し、符号理論における古典的線形計画法（LP）境界の強化を図る。直交多項式から導かれるゾーン行列を用いて、3点の組に対するSDP制約を導入することで、符号サイズに対するより鋭い上界が得られる。特に、2進符号や球面符号のような特定のケースにおいて、LP境界を厳密に上回ることを示した。

ABSTRACT

These lecture notes where presented as a course of the CIMPA summer school in Manila, July 20-30, 2009, Semidefinite programming in algebraic combinatorics. This version is an update June 2010.

研究の動機と目的

• 3点の組に対する半定値計画法制約を組み込んだ、符号理論におけるDelsarteの線形計画法手法の一般化を図ること。
• コンパクト群の表現論を用いて、2点同士が等距離な空間および対称空間を統一的に扱う調和解析の枠組みを構築すること。
• ハミング空間や球面などの主要な空間に対して、明示的なゾーン行列および正定値関数を計算すること。
• 群表現および直交多項式から導かれるSDP制約を用いて、古典的LP境界を強化し、符号サイズのより鋭い上界を導出すること。
• 2進符号、ジョンソン空間、球面符号における明示的計算を通じて、本手法の有効性を示し、LP境界を上回ることを実証すること。

提案手法

• コンパクト群上の関数空間を不変部分空間に分解するために、Peter-Weyl定理とコンパクト群上の調和解析を活用する。
• 群不変カーネルから導かれる、すべての符号 $ C $ に対して半正定値となるゾーン行列 $ E_k(x,y) $ および $ F_k(x,y,z) $ を導入する。
• Krawtchouk多項式やGegenbauer多項式などの直交多項式を用いて、ゾーン行列の成分を距離 $ d(x,y), d(x,z), d(y,z) $ の関数として表現する。
• 与えられた対称距離を持つ3点の組の個数を表す変数 $ x_{a,b,c} $ を持つSDPプログラムを構築し、対称性、非負性、半正定値性の制約を課す。
• 正定値性を保証するため、$ \sum T_k(a,b,c) x_{a,b,c} \succeq 0 $ および $ \sum T_k(a,b,c)(t(a,b,c)x_{0,c,c} - x_{a,b,c}) \succeq 0 $ の制約を課す。ここで $ T_k $ は $ F_k $ の係数行列である。
• 置換群 $ S_n $ や直交群 $ O(n) $ などの群作用の下での対称性と不変性を活用することで、問題を有限次元SDPに還元し、計算の可能性を高める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3点の組に対する半定値計画法制約は、符号の古典的線形計画法境界をどのように改善するか？
• RQ2 コンパクト群上の調和解析は、対称空間における正定値関数およびゾーン行列を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ3 ハミング空間および球面空間において、ゾーン行列 $ E_k(x,y) $ と $ F_k(x,y,z) $ は直交多項式および群表現とどのように関係するか？
• RQ4 SDP境界がLP境界を厳密に上回る場合はどのような場合か？ また、そのような改善が可能となるコード空間の構造的特徴は何か？
• RQ5 本枠組みは、非2進符号、グラスマン多様体、およびハミング空間や球面を越えた他の対称空間に対しても体系的に適用可能か？

主な発見

• ゾーン行列 $ F_k(x,y,z) = E_k(x-z,y-z) $ から導かれる3点の組に対するSDP制約は、古典的LP法よりも符号サイズの上界を鋭くする。
• 2進ハミング空間 $ H_n $ において、SDPプログラムはLPプログラムの制約の部分集合を含み、SDP条件の総和が $ B_k(x,y) = \sum_z E_k(x-z,y-z) $ を通じてLP条件と等価である。
• スクリーヴァー（2001年）で示されたように、特定の低次元ケースにおいてSDP境界はLP境界を厳密に上回る。その後、ジョンソン空間および球面符号へと拡張された。
• 二項係数および重み分布を用いて、係数行列 $ T_k(a,b,c) $ の明示的公式が導出され、計算実装が可能となった。
• 本手法は、ジョンソン空間 $ J_n^w $、球面 $ S^{n-1} $、グラスマン多様体など、他の対称空間へと一般化可能であり、類似のSDP定式化が可能である。
• Bochnerの定理を介した正定値関数と表現論的道具を用いることで、本枠組みは、さまざまなアルファベットおよび幾何構造における符号解析を統一的に扱うことができる。