[論文レビュー] Semidefinite Programs on Sparse Random Graphs.

Andrea Montanari, Subhabrata Sen|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 37被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、平均次数が有界な Erd\'os-R\'enyi ランダムグラフの中心化された隣接行列とランク1および低ランクの正定値行列との内積を最大化する半定値計画問題（SDP）を分析する。スピンガラス理論からの補間法と、新規の高ランクグロテンディック不等式を組み合わせることで、SDPの値が、高確率で $ 2n\sqrt{\gamma} + n\, o(\sqrt{\gamma}) + o(n) $ に収束することを確立し、SDPによるコミュニティ検出のための改善された境界を得た。

ABSTRACT

Denote by $A$ the adjacency matrix of an Erd\H{o}s-Renyi graph with bounded average degree. We consider the problem of maximizing $\langle A-{\mathbb E}\{A\},X angle$ over the set of positive semidefinite matrices $X$ with diagonal entries $X_{ii}=1$. We prove that for large (bounded) average degree $\gamma$, the value of this semidefinite program (SDP) is -with high probability- $2n\sqrt{\gamma} + n\, o(\sqrt{\gamma})+ o(n)$. Our proof is based on two tools from different research areas. First, we develop a new `higher-rank' Grothendieck inequality for symmetric matrices. In the present case, our inequality implies that the value of the above SDP is arbitrarily well approximated by optimizing over rank-$k$ matrices for $k$ large but bounded. Second, we use the interpolation method from spin glass theory to approximate this problem by a second one concerning Wigner random matrices instead of sparse graphs. As an application of our results, we prove new bounds on community detection via SDP that are substantially more accurate than the state of the art.

研究の動機と目的

• 平均次数が有界な Erd\'os-R\'enyi ランダムグラフにおける中心化された隣接行列に基づく半定値計画問題（SDP）の値を分析すること。
• 頂点数 $ n $ が非常に大きくなる際の、SDPの値の鋭い漸近的表現を確立すること。
• 低ランク行列上でのSDPを近似するために、対称行列に特化した新しい高ランクグロテンディック不等式を開発すること。
• スピンガラス理論からの補間法を用いて、スパースなグラフ問題をWigner行列に基づく問題に還元すること。
• 半定値計画法を用いたコミュニティ検出のための改善された境界を導出すること。

提案手法

• 有界な $ k $ に対してランク$ k $ 行列上での最適化により、正定値行列全体の凸錐上でのSDPの値を近似できる、新規の高ランクグロテンディック不等式を導入すること。
• スピンガラス理論からの補間法を用いて、スパースなランダムグラフモデルとWigner行列モデルを結びつけ、確率的行列理論の道具を用いた解析を可能にすること。
• 大規模な $ n $ および有界な $ \gamma $ に対して、SDPの値が高確率で $ 2n\sqrt{\gamma} + n\, o(\sqrt{\gamma}) + o(n) $ に集中することを確立すること。
• 集中性および比較技術を活用して、近似における誤差項を制御し、有界な $ \gamma $ に対して一様に成立する漸近的表現を保証すること。
• 得られたSDP境界をコミュニティ検出問題に適用し、先行研究よりも優れた検出閾値を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均次数が有界な Erd\'os-R\'enyi ランダムグラフ上での、正定値行列の単位対角成分を満たすものに対して、$ \langle A - \mathbb{E}\{A\}, X \rangle $ を最大化する半定値計画問題（SDP）の漸近的値は何か？
• RQ2 低ランク行列を用いてSDPの値を近似できるような高ランクグロテンディック不等式を構築できるか？
• RQ3 スピンガラス理論からの補間法をどのように変更することで、SDP解析の文脈においてスパースなランダムグラフモデルとWigner行列モデルを関連づけられるか？
• RQ4 導出されたSDP境界は、コミュニティ検出アルゴリズムの性能保証をどの程度向上させるか？
• RQ5 SDP値の式における補正項の正確なオーダーは何か？また、$ n $ および $ \gamma $ に対してどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• 大規模な $ n $ および有界な平均次数 $ \gamma $ に対して、半定値計画問題の値は高確率で $ 2n\sqrt{\gamma} + n\, o(\sqrt{\gamma}) + o(n) $ に収束する。
• 高ランクグロテンディック不等式により、有界な $ k $ に対するランク$ k $ 行列上での最適化が、完全なSDPの値を任意の精度で近似できることを保証する。
• 補間法により、スパースなグラフSDPの解析が、Wigner行列に基づく関連問題に成功裏に還元され、既存の確率的行列理論のツールが利用可能になった。
• 導出されたSDP値の式は、誤差項が $ n\sqrt{\gamma} $ の任意の定数倍より小さいという意味で鋭いものである。
• 結果として、SDPによるコミュニティ検出の境界が大幅に改善され、現在の最先端を上回る精度が達成された。
• 解析により、主項 $ 2n\sqrt{\gamma} $ がSDP値を支配することが確認され、下位項の補正は漸近的に無視可能であることが示された。